ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1099 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. $\frac{A_7^4}{P_5}$
2. $\frac{A_6^3}{P_4}$
3. $(\frac{C_{11}^7}{10}-\frac{C_7^2}{5})\cdot \frac{P_5}{A_6^4}$

4. $(\frac{C_{10}^7}{3}+\frac{C_6^2}{6})\cdot \frac{P_4}{A_5^4}$

1) $\frac{A_{7}^{4}}{P_{5}} = \frac{7!}{(7-4)! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 7$;

2) $\frac{A_{6}^{3}}{P_{4}} = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{3 \cdot 2} = 5$;

3) $\left( \frac{C_{11}^{7}}{10} — \frac{C_{7}^{2}}{5} \right) \cdot \frac{P_{5}}{A_{6}^{4}} = \left( \frac{11!}{(11-7)! \cdot 7!} \cdot \frac{1}{10} — \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!} \cdot \frac{1}{5} \right) \cdot \frac{(6-4)!}{6!} =$

$= \left( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{4! \cdot 7! \cdot 10} — \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 5} \right) \cdot \frac{5! \cdot 2!}{6!} = \left( \frac{11 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2} — \frac{7 \cdot 3}{5} \right) \cdot \frac{2}{6} =$

$= \left( 11 \cdot 3 — \frac{21}{5} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{165 — 21}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{144}{15} = \frac{48}{5} = 9,6$;

4) $\left( \frac{C_{10}^{7}}{3} + \frac{C_{6}^{2}}{6} \right) \cdot \frac{P_{4}}{A_{5}^{4}} = \left( \frac{10!}{(10-7)! \cdot 7!} \cdot \frac{1}{3} + \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} \cdot \frac{1}{6} \right) \cdot \frac{(5-4)!}{4!} =$

$= \left( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7! \cdot 3} + \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 6} \right) \cdot \frac{1!}{4!} = \frac{10 \cdot 3 \cdot 8}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} = 10 \cdot 4 + 2,5 = 42,5$

1) $\frac{A_{7}^{4}}{P_{5}}$

Шаг 1: Раскроем формулы для размещений и перестановок

• Формула для размещений $A_n^k$ выглядит как:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

• Формула для перестановок $P_n$ выглядит как:

$$P_n = n!$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{A_{7}^{4}}{P_{5}} = \frac{\frac{7!}{(7-4)!}}{5!}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

$$\frac{A_{7}^{4}}{P_{5}} = \frac{7!}{3! \cdot 5!}.$$

Шаг 3: Сократим факториалы

Теперь, в числителе и знаменателе есть общий множитель $5!$, который можно сократить:

$$\frac{7!}{3! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!}.$$

Сократим $5!$:

$$= \frac{7 \cdot 6}{3!} = \frac{7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 7.$$

Ответ: 7.

2) $\frac{A_{6}^{3}}{P_{4}}$

Шаг 1: Раскроем формулы для размещений и перестановок

Сначала подставим формулы для размещений и перестановок:

$$\frac{A_{6}^{3}}{P_{4}} = \frac{\frac{6!}{(6-3)!}}{4!} = \frac{6!}{3! \cdot 4!}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

$$\frac{A_{6}^{3}}{P_{4}} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!}.$$

Шаг 3: Сократим факториалы

Теперь сократим $4!$:

$$= \frac{6 \cdot 5}{3!} = \frac{6 \cdot 5}{3 \cdot 2} = 5.$$

Ответ: 5.

3) $\left( \frac{C_{11}^{7}}{10} — \frac{C_{7}^{2}}{5} \right) \cdot \frac{P_{5}}{A_{6}^{4}}$

Шаг 1: Разберемся с биномиальными коэффициентами и перестановками

Для этого выражения нам нужно расписать биномиальные коэффициенты $C_n^k$ и использовать формулы для перестановок и размещений:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Начнем с первого слагаемого:

$$\frac{C_{11}^{7}}{10} = \frac{\frac{11!}{7! \cdot 4!}}{10} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 4! \cdot 10} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4! \cdot 10}.$$

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$$\frac{C_{7}^{2}}{5} = \frac{\frac{7!}{2! \cdot 5!}}{5} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5! \cdot 5} = \frac{7 \cdot 6}{2! \cdot 5}.$$

Теперь подставим оба выражения в исходное выражение:

$$\left( \frac{C_{11}^{7}}{10} — \frac{C_{7}^{2}}{5} \right) \cdot \frac{P_{5}}{A_{6}^{4}} = \left( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4! \cdot 10} — \frac{7 \cdot 6}{2! \cdot 5} \right) \cdot \frac{5!}{6!}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Упростим каждое слагаемое:

Для первого слагаемого:

$$\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4! \cdot 10} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{11 \cdot 9 \cdot 8}{24} = 33.$$

Для второго слагаемого:

$$\frac{7 \cdot 6}{2! \cdot 5} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \frac{42}{10} = 4.2.$$

Теперь подставим в основное выражение:

$$\left( 33 — 4.2 \right) \cdot \frac{5!}{6!} = 28.8 \cdot \frac{5!}{6!} = 28.8 \cdot \frac{1}{6}.$$

Шаг 3: Умножим

Теперь вычислим:

$$28.8 \cdot \frac{1}{6} = 4.8.$$

Ответ: 4.8.

4) $\left( \frac{C_{10}^{7}}{3} + \frac{C_{6}^{2}}{6} \right) \cdot \frac{P_{4}}{A_{5}^{4}}$

Шаг 1: Разберемся с биномиальными коэффициентами и перестановками

Подставляем формулы для биномиальных коэффициентов и перестановок:

$$\frac{C_{10}^{7}}{3} = \frac{\frac{10!}{7! \cdot 3!}}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! \cdot 3}.$$

Для второго слагаемого:

$$\frac{C_{6}^{2}}{6} = \frac{\frac{6!}{2! \cdot 4!}}{6} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4! \cdot 6}.$$

Подставим это все в исходное выражение:

$$\left( \frac{C_{10}^{7}}{3} + \frac{C_{6}^{2}}{6} \right) \cdot \frac{P_{4}}{A_{5}^{4}} = \left( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3! \cdot 3} + \frac{6 \cdot 5}{2! \cdot 6} \right) \cdot \frac{5!}{4!}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Упростим каждое слагаемое:

Для первого слагаемого:

$$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3! \cdot 3} = \frac{10 \cdot 3 \cdot 8}{3 \cdot 2} = 10 \cdot 4 = 40.$$

Для второго слагаемого:

$$\frac{6 \cdot 5}{2! \cdot 6} = \frac{30}{2 \cdot 6} = \frac{5}{2}.$$

Теперь подставим в основное выражение:

$$\left( 40 + \frac{5}{2} \right) \cdot \frac{5!}{4!} = \frac{80}{2} + \frac{5}{2} = \frac{85}{2}.$$

Шаг 3: Умножим

Теперь вычислим:

$$\frac{85}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{85}{8} = 42.5.$$

Ответ: 42.5.

Итоговые ответы:

1. $7$
2. $5$
3. $4.8$
4. $42.5$