ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1098 Алимов — Подробные Ответы

Упростить:

1. $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$
2. $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$
3. $(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!})\cdot n!$
4. $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!})\cdot n!$
5. $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!})\cdot (n+1)!$
6. $(\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!})\cdot (n+1)!$

1) $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)$

2) $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)$

3) $(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!})\cdot n!=(\frac{1}{(n+1)\cdot n!}+\frac{n+1}{(n+1)\cdot n!})\cdot n!=\frac{n+2}{n+1}$

4) $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!})\cdot n!=(\frac{n+1}{(n+1)\cdot n!}-\frac{1}{(n+1)\cdot n!})\cdot n!=\frac{n}{n+1}$

5) $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!})\cdot (n+1)!=(\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!}-\frac{1}{(n+2)(n+1)n!})\cdot (n+1)\cdot n!=$

$=\frac{n^2+n+2n+2-1}{n+2}=\frac{n^2+3n+1}{n+2}$

6) $(\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!})\cdot (n+1)!=(\frac{1}{(n+2)(n+1)n!}+\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!})\cdot (n+1)\cdot n!=$

$=\frac{1+(n^2+n+2n+2)}{n+2}=\frac{n^2+3n+3}{n+2}$

1) $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$

Шаг 1: Раскроем факториалы

Рассмотрим факториалы в развернутом виде. Мы можем представить $(n+3)!$ как:

$$(n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}$$

Шаг 2: Сократим $(n+1)!$

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(n+1)!$, который можно сократить:

$$=(n+3)(n+2)$$

Ответ: $(n+3)(n+2)$.

2) $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$

Шаг 1: Раскроем факториалы

Запишем $(n+2)!$ и $(n-1)!$ в развернутом виде:

$$(n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}$$

Шаг 2: Сократим $(n-1)!$

Теперь в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(n-1)!$, который можно сократить:

$$=(n+2)(n+1)n$$

Ответ: $n(n+1)(n+2)$.

3) $(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!})\cdot n!$

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю

Начнем с того, что нужно привести дроби к общему знаменателю. У нас два выражения: $\frac{1}{(n+1)!}$ и $\frac{1}{n!}$. Для того чтобы привести их к общему знаменателю, заметим, что $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$.

Итак, выражение:

$$\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n+1)\cdot n!}+\frac{n+1}{(n+1)\cdot n!}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Теперь мы видим, что обе дроби имеют общий знаменатель $(n+1)\cdot n!$, поэтому мы можем сложить числители:

$$=\frac{1+(n+1)}{(n+1)\cdot n!}=\frac{n+2}{(n+1)\cdot n!}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножим на $n!$

Теперь умножаем все выражение на $n!$:

$$\left(\frac{n+2}{(n+1)\cdot n!}\right)\cdot n!=\frac{n+2}{n+1}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{n+2}{n+1}$.

4) $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!})\cdot n!$

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю

Как и в предыдущем примере, нам нужно привести дроби к общему знаменателю. У нас два выражения: $\frac{1}{n!}$ и $\frac{1}{(n+1)!}$. Для того чтобы привести их к общему знаменателю, заметим, что $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$.

Таким образом, выражение:

$$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{(n+1)}{(n+1)\cdot n!}-\frac{1}{(n+1)\cdot n!}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Теперь, так как у нас общий знаменатель $(n+1)\cdot n!$, можем выполнить вычитание:

$$=\frac{(n+1)-1}{(n+1)\cdot n!}=\frac{n}{(n+1)\cdot n!}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножим на $n!$

Теперь умножаем на $n!$:

$$\left(\frac{n}{(n+1)\cdot n!}\right)\cdot n!=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{n}{n+1}$.

5) $(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!})\cdot (n+1)!$

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю

Теперь у нас выражения $\frac{1}{n!}$ и $\frac{1}{(n+2)!}$. Мы можем выразить $(n+2)!=(n+2)(n+1)n!$, что дает:

$$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)(n+1)n!}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю

Приводим к общему знаменателю $(n+2)(n+1)n!$:

$$=\frac{(n+2)(n+1)-1}{(n+2)(n+1)n!}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножим на $(n+1)!$

Теперь умножаем на $(n+1)!$, что можно выразить как $(n+1)\cdot n!$:

$$\left(\frac{(n+2)(n+1)-1}{(n+2)(n+1)n!}\right)\cdot (n+1)\cdot n!=\frac{(n+2)(n+1)-1}{n+2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь раскрываем числитель:

$$=\frac{n^2+n+2n+2-1}{n+2}=\frac{n^2+3n+1}{n+2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{n^2+3n+1}{n+2}$.

6) $(\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!})\cdot (n+1)!$

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю

У нас два выражения: $\frac{1}{(n+2)!}$ и $\frac{1}{n!}$. Мы можем выразить $(n+2)!=(n+2)(n+1)n!$, и тогда:

$$\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)n!}+\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Теперь у нас общий знаменатель $(n+2)(n+1)n!$, и мы можем сложить числители:

$$=\frac{1+(n^2+n+2n+2)}{(n+2)(n+1)n!}=\frac{1+(n^2+3n+2)}{(n+2)(n+1)n!}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножим на $(n+1)!$

Теперь умножаем на $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$:

$$\left(\frac{1+(n^2+3n+2)}{(n+2)(n+1)n!}\right)\cdot (n+1)\cdot n!=\frac{n^2+3n+3}{n+2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{n^2+3n+3}{n+2}$.

Итоговые ответы:

1. $(n+3)(n+2)$
2. $n(n+1)(n+2)$
3. $\frac{n+2}{n+1}$
4. $\frac{n}{n+1}$
5. $\frac{n^2+3n+1}{n+2}$
6. $\frac{n^2+3n+3}{n+2}$