ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1096 Алимов — Подробные Ответы

Найти член разложения бинома:

1. ((корень 3 степени x) + 1/корень x)12, содержащий x^-1;
2. (корень x + 1/(корень 3 степени x))16, содержащий x3.

Общий член разложения бинома Ньютона имеет вид:

$$(a+b{)}^m=C_m^n\cdot a^{m-n}\cdot b^n;$$

Задача 1.

${(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$;

Общий член разложения:

$$C_{12}^n\cdot {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{12-n}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n=C_{12}^n\cdot x^{4-\frac{n}{3}}\cdot x^{-\frac{n}{2}}=C_{12}^n\cdot x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}};$$

Номер члена, содержащего $x^{-1}$:

$$x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}}=x^{-1};$$$$4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}=-1;$$$$\frac{2n+3n}{6}=5;$$$$5n=30,\text{отсюда }n=6;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{12}^6=\frac{12!}{(12-6)!\cdot 6!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=11\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 7=924;$$

Ответ: $924x^{-1}$.

Задача 2.

${(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$;

Общий член разложения:

$$C_{16}^n\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{16-n}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)}^n=C_{16}^n\cdot x^{8-\frac{n}{2}}\cdot x^{-\frac{n}{3}}=C_{16}^n\cdot x^{8-\frac{n}{2}-\frac{n}{3}};$$

Номер члена, содержащего $x^3$:

$$x^{8-\frac{n}{2}-\frac{n}{3}}=x^3;$$$$8-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}=3;$$$$\frac{2n+3n}{6}=5;$$$$5n=30,\text{отсюда }n=6;$$

Биномиальный коэффициент:

$$C_{16}^6=\frac{16!}{(16-6)!\cdot 6!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10!}{10!\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=4\cdot 14\cdot 13\cdot 11=8008;$$

Ответ: $8008x^3$.

1) ${(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$

Шаг 1: Записываем общий член разложения бинома Ньютона

Используем формулу для общего члена разложения бинома Ньютона:

$$(a+b{)}^m=C_m^n\cdot a^{m-n}\cdot b^n,$$

где:

• $m=12$,
• $a=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$,
• $b=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$,
• $n$ — это индекс текущего члена (от 0 до 12).

Подставим все в формулу:

$$C_{12}^n\cdot {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{12-n}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упростим степень для каждого элемента

Каждый член разложения будет включать степень $x$, и мы должны упростить степени для $a$ и $b$:

Для ${\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{12-n}$ получаем:

$${\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{12-n}=x^{\frac{12-n}{3}}\mathrm{.}$$

Для ${\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n$ получаем:

$${\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n=x^{-\frac{n}{2}}\mathrm{.}$$

Таким образом, общий член разложения будет выглядеть так:

$$C_{12}^n\cdot x^{\frac{12-n}{3}}\cdot x^{-\frac{n}{2}}=C_{12}^n\cdot x^{\frac{12-n}{3}-\frac{n}{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Найдем $n$, при котором степень $x$ равна $-1$

Теперь, нам нужно найти такой член, где степень $x$ равна $-1$:

$$x^{\frac{12-n}{3}-\frac{n}{2}}=x^{-1}\mathrm{.}$$

Для этого приравняем экспоненты:

$$\frac{12-n}{3}-\frac{n}{2}=-1.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2(12-n)}{6}-\frac{3n}{6}=-1,$$$$\frac{24-2n-3n}{6}=-1,$$$$\frac{24-5n}{6}=-1.$$

Умножим обе части на 6:

$$24-5n=-6.$$

Решаем относительно $n$:

$$-5n=-6-24=-30,$$$$n=6.$$

Шаг 4: Находим биномиальный коэффициент $C_{12}^6$

Теперь, когда мы нашли $n=6$, нам нужно вычислить биномиальный коэффициент $C_{12}^6$:

$$C_{12}^6=\frac{12!}{(12-6)!\cdot 6!}=\frac{12!}{6!\cdot 6!}\mathrm{.}$$

Раскроем факториалы:

$$12!=12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6!,$$$$C_{12}^6=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!\cdot 6!}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7}{6!}\mathrm{.}$$

Вычислим числитель:

$$12\times 11=132,132\times 10=1320,1320\times 9=11880,$$

$$11880\times 8=95040,95040\times 7=665280.$$

Теперь вычислим $6!$:

$$6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720.$$

Делим:

$$C_{12}^6=\frac{665280}{720}=924.$$

Ответ:

Теперь подставляем это значение в общий член разложения:

$$C_{12}^6\cdot x^{-1}=924x^{-1}\mathrm{.}$$

2) ${(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$

Шаг 1: Записываем общий член разложения бинома Ньютона

Используем формулу для общего члена разложения бинома Ньютона:

$$C_{16}^n\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{16-n}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$

Преобразуем степени:

Для ${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{16-n}$ получаем:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{16-n}=x^{\frac{16-n}{2}}\mathrm{.}$$

Для ${\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)}^n$ получаем:

$${\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)}^n=x^{-\frac{n}{3}}\mathrm{.}$$

Таким образом, общий член разложения будет выглядеть так:

$$C_{16}^n\cdot x^{\frac{16-n}{2}}\cdot x^{-\frac{n}{3}}=C_{16}^n\cdot x^{\frac{16-n}{2}-\frac{n}{3}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Найдем $n$, при котором степень $x$ равна 3

Теперь, нам нужно найти такой член, где степень $x$ равна 3:

$$x^{\frac{16-n}{2}-\frac{n}{3}}=x^3\mathrm{.}$$

Приравниваем экспоненты:

$$\frac{16-n}{2}-\frac{n}{3}=3.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{3(16-n)}{6}-\frac{2n}{6}=3,$$$$\frac{48-3n-2n}{6}=3,$$$$\frac{48-5n}{6}=3.$$

Умножим обе части на 6:

$$48-5n=18.$$

Решаем относительно $n$:

$$-5n=18-48=-30,$$$$n=6.$$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{16}^6$

Теперь, когда мы нашли $n=6$, нам нужно вычислить биномиальный коэффициент $C_{16}^6$:

$$C_{16}^6=\frac{16!}{(16-6)!\cdot 6!}=\frac{16!}{10!\cdot 6!}\mathrm{.}$$

Раскроем факториалы:

$$16!=16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10!,$$$$C_{16}^6=\frac{16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10!}{10!\cdot 6!}=\frac{16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11}{6!}\mathrm{.}$$

Вычислим числитель:

$$16\times 15=240,240\times 14=3360,3360\times 13=43680,$$

$$43680\times 12=524160,524160\times 11=5765760.$$

Теперь вычислим $6!$:

$$6!=720.$$

Делим:

$$C_{16}^6=\frac{5765760}{720}=8008.$$

Ответ:

Теперь подставляем это значение в общий член разложения:

$$C_{16}^6\cdot x^3=8008x^3\mathrm{.}$$