ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1096 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти член разложения бинома:

((корень 3 степени x) + 1/корень x)12, содержащий x^-1;
(корень x + 1/(корень 3 степени x))16, содержащий x3.

Краткий ответ:

Общий член разложения бинома Ньютона имеет вид:

$(a + b)^{m} = C_{m}^{n} \cdot a^{m - n} \cdot b^{n};$

Задача 1.

${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$ ;

Общий член разложения:

$C_{12}^{n} \cdot {(x^{\frac{1}{3}})}^{12 - n} \cdot {(x^{- \frac{1}{2}})}^{n} = C_{12}^{n} \cdot x^{4 - \frac{n}{3}} \cdot x^{- \frac{n}{2}} = C_{12}^{n} \cdot x^{4 - \frac{n}{3} - \frac{n}{2}};$

Номер члена, содержащего $x^{- 1}$ :

$x^{4 - \frac{n}{3} - \frac{n}{2}} = x^{- 1};$ $4 - \frac{n}{3} - \frac{n}{2} = - 1;$ $\frac{2 n + 3 n}{6} = 5;$ $5 n = 30, отсюда n = 6;$

Биномиальный коэффициент:

$C_{12}^{6} = \frac{12!}{(12 - 6)! \cdot 6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 924;$

Ответ: $924 x^{- 1}$ .

Задача 2.

${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$ ;

Общий член разложения:

$C_{16}^{n} \cdot {(x^{\frac{1}{2}})}^{16 - n} \cdot {(x^{- \frac{1}{3}})}^{n} = C_{16}^{n} \cdot x^{8 - \frac{n}{2}} \cdot x^{- \frac{n}{3}} = C_{16}^{n} \cdot x^{8 - \frac{n}{2} - \frac{n}{3}};$

Номер члена, содержащего $x^{3}$ :

$x^{8 - \frac{n}{2} - \frac{n}{3}} = x^{3};$ $8 - \frac{n}{3} - \frac{n}{2} = 3;$ $\frac{2 n + 3 n}{6} = 5;$ $5 n = 30, отсюда n = 6;$

Биномиальный коэффициент:

$C_{16}^{6} = \frac{16!}{(16 - 6)! \cdot 6!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 4 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 8008;$

Ответ: $8008 x^{3}$ .

Подробный ответ:

1) ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$

Шаг 1: Записываем общий член разложения бинома Ньютона

Используем формулу для общего члена разложения бинома Ньютона:

$(a + b)^{m} = C_{m}^{n} \cdot a^{m - n} \cdot b^{n},$

где:

$m = 12$ ,
$a = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ ,
$b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{- \frac{1}{2}}$ ,
$n$ — это индекс текущего члена (от 0 до 12).

Подставим все в формулу:

$C_{12}^{n} \cdot {(x^{\frac{1}{3}})}^{12 - n} \cdot {(x^{- \frac{1}{2}})}^{n} .$

Шаг 2: Упростим степень для каждого элемента

Каждый член разложения будет включать степень $x$ , и мы должны упростить степени для $a$ и $b$ :

Для ${(x^{\frac{1}{3}})}^{12 - n}$ получаем:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{12 - n} = x^{\frac{12 - n}{3}} .$

Для ${(x^{- \frac{1}{2}})}^{n}$ получаем:

${(x^{- \frac{1}{2}})}^{n} = x^{- \frac{n}{2}} .$

Таким образом, общий член разложения будет выглядеть так:

$C_{12}^{n} \cdot x^{\frac{12 - n}{3}} \cdot x^{- \frac{n}{2}} = C_{12}^{n} \cdot x^{\frac{12 - n}{3} - \frac{n}{2}} .$

Шаг 3: Найдем $n$ , при котором степень $x$ равна $- 1$

Теперь, нам нужно найти такой член, где степень $x$ равна $- 1$ :

$x^{\frac{12 - n}{3} - \frac{n}{2}} = x^{- 1} .$

Для этого приравняем экспоненты:

$\frac{12 - n}{3} - \frac{n}{2} = - 1.$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{2 (12 - n)}{6} - \frac{3 n}{6} = - 1,$ $\frac{24 - 2 n - 3 n}{6} = - 1,$ $\frac{24 - 5 n}{6} = - 1.$

Умножим обе части на 6:

$24 - 5 n = - 6.$

Решаем относительно $n$ :

$- 5 n = - 6 - 24 = - 30,$ $n = 6.$

Шаг 4: Находим биномиальный коэффициент $C_{12}^{6}$

Теперь, когда мы нашли $n = 6$ , нам нужно вычислить биномиальный коэффициент $C_{12}^{6}$ :

$C_{12}^{6} = \frac{12!}{(12 - 6)! \cdot 6!} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} .$

Раскроем факториалы:

$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!,$ $C_{12}^{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \cdot 6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6!} .$

Вычислим числитель:

$12 \times 11 = 132, 132 \times 10 = 1320, 1320 \times 9 = 11880,$

$11880 \times 8 = 95040, 95040 \times 7 = 665280.$

Теперь вычислим $6!$ :

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720.$

Делим:

$C_{12}^{6} = \frac{665280}{720} = 924.$

Ответ:

Теперь подставляем это значение в общий член разложения:

$C_{12}^{6} \cdot x^{- 1} = 924 x^{- 1} .$

2) ${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$

Шаг 1: Записываем общий член разложения бинома Ньютона

Используем формулу для общего члена разложения бинома Ньютона:

$C_{16}^{n} \cdot {(x^{\frac{1}{2}})}^{16 - n} \cdot {(x^{- \frac{1}{3}})}^{n} .$

Преобразуем степени:

Для ${(x^{\frac{1}{2}})}^{16 - n}$ получаем:

${(x^{\frac{1}{2}})}^{16 - n} = x^{\frac{16 - n}{2}} .$

Для ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{n}$ получаем:

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{n} = x^{- \frac{n}{3}} .$

Таким образом, общий член разложения будет выглядеть так:

$C_{16}^{n} \cdot x^{\frac{16 - n}{2}} \cdot x^{- \frac{n}{3}} = C_{16}^{n} \cdot x^{\frac{16 - n}{2} - \frac{n}{3}} .$

Шаг 2: Найдем $n$ , при котором степень $x$ равна 3

Теперь, нам нужно найти такой член, где степень $x$ равна 3:

$x^{\frac{16 - n}{2} - \frac{n}{3}} = x^{3} .$

Приравниваем экспоненты:

$\frac{16 - n}{2} - \frac{n}{3} = 3.$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{3 (16 - n)}{6} - \frac{2 n}{6} = 3,$ $\frac{48 - 3 n - 2 n}{6} = 3,$ $\frac{48 - 5 n}{6} = 3.$

Умножим обе части на 6:

$48 - 5 n = 18.$

Решаем относительно $n$ :

$- 5 n = 18 - 48 = - 30,$ $n = 6.$

Шаг 3: Находим биномиальный коэффициент $C_{16}^{6}$

Теперь, когда мы нашли $n = 6$ , нам нужно вычислить биномиальный коэффициент $C_{16}^{6}$ :

$C_{16}^{6} = \frac{16!}{(16 - 6)! \cdot 6!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} .$

Раскроем факториалы:

$16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!,$ $C_{16}^{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6!} .$

Вычислим числитель:

$16 \times 15 = 240, 240 \times 14 = 3360, 3360 \times 13 = 43680,$

$43680 \times 12 = 524160, 524160 \times 11 = 5765760.$

Теперь вычислим $6!$ :

$6! = 720.$

Делим:

$C_{16}^{6} = \frac{5765760}{720} = 8008.$

Ответ:

Теперь подставляем это значение в общий член разложения:

$C_{16}^{6} \cdot x^{3} = 8008 x^{3} .$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы