ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1095 Алимов — Подробные Ответы

С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:

1. C 0/7 + C 1/7 + C 2/7 + C 3/7 + C 4/7 + C 5/7 + C 6/7 + C 6/7;
2. C 6/6 + C 5/6 + C 4/6 + C 3/6 + C 2/6 + C 1/6 + C 0/6;
3. C 1/6 + C 2/6 + C 3/6 + C 4/6 + C 5/6;
4. C 6/7 + C 5/7 + C 4/7 + C 3/7 + C 2/7 + C 1/7;
5. C 0/9 + C 1/9 + C 2/9 + C 3/9 + C 4/9;
6. C 5/11 + C 4/11 + C 3/11 + C 2/11 + C 1/11 + C 0/11.

Сумма элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля равна $2^n$;

1. $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$;
2. $C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^1 + C_6^0 = 2^6 — C_6^1 = 64 — 6 = 58$;
3. $C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 = 2^6 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62$;
4. $C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1 = 2^7 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126$;
5. $C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256$;
6. $C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024$.

Сумма элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля

Каждая строка треугольника Паскаля соответствует разложению бинома Ньютона $(a + b)^n$, где элементы строки — это биномиальные коэффициенты:

$$C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots, C_n^n.$$

Сумма всех элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля равна значению $2^n$, что следует из теоремы бинома Ньютона, где при $a = 1$ и $b = 1$ мы получаем:

$$(1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n.$$

Теперь давайте разберемся с каждым пунктом.

1) $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$

В данном примере мы рассматриваем 7-ую строку треугольника Паскаля. Сумма всех элементов 7-ой строки, по теореме бинома Ньютона, равна $2^7$.

Пояснение:

• Все элементы этой строки представляют собой биномиальные коэффициенты от $C_7^0$ до $C_7^7$.
• Сумма всех этих коэффициентов по теореме бинома Ньютона:

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128.$$

Ответ: 128.

2) $C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^1 + C_6^0 = 2^6 — C_6^1 = 64 — 6 = 58$

Здесь мы рассматриваем 6-ую строку треугольника Паскаля. Сначала находим сумму всех элементов этой строки, затем вычитаем значение одного из элементов.

Шаг 1. Сумма всех элементов 6-ой строки:

$$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64.$$

Шаг 2. Теперь вычитаем $C_6^1$ (равное 6), так как в данном выражении суммируются все элементы, кроме $C_6^1$:

$$64 — C_6^1 = 64 — 6 = 58.$$

Ответ: 58.

3) $C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 = 2^6 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62$

Здесь рассматривается сумма элементов 6-ой строки, начиная с $C_6^1$ и заканчивая $C_6^5$.

Шаг 1. Сумма всех элементов 6-ой строки:

$$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64.$$

Шаг 2. Вычитаем $C_6^0$ и $C_6^6$, так как эти элементы не включены в сумму:

$$64 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62.$$

Ответ: 62.

4) $C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1 = 2^7 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126$

Здесь рассматривается сумма элементов 7-ой строки, начиная с $C_7^1$ и заканчивая $C_7^6$.

Шаг 1. Сумма всех элементов 7-ой строки:

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128.$$

Шаг 2. Вычитаем $C_7^7$ и $C_7^0$, так как эти элементы не включены в сумму:

$$128 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126.$$

Ответ: 126.

5) $C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256$

Здесь рассматривается сумма первых пяти элементов 9-ой строки треугольника Паскаля.

Шаг 1. Сумма всех элементов 9-ой строки:

$$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 + C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 = 2^9 = 512.$$

Шаг 2. Поскольку по симметрии треугольника Паскаля сумма первых пяти элементов равна половине от всей суммы (из-за симметричности коэффициентов), то:

$$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256.$$

Ответ: 256.

6) $C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024$

Здесь рассматривается сумма всех элементов 11-ой строки треугольника Паскаля, начиная с $C_{11}^0$ и заканчивая $C_{11}^5$.

Шаг 1. Сумма всех элементов 11-ой строки:

$$C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5 + C_{11}^6 + C_{11}^7 + C_{11}^8 + C_{11}^9 + C_{11}^{10} + C_{11}^{11} = 2^{11} = 2048.$$

Шаг 2. Поскольку сумма первых шести элементов (от $C_{11}^0$ до $C_{11}^5$) составляет половину всей суммы, то:

$$C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024.$$

Ответ: 1024.