ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1095 Алимов — Подробные Ответы

Задача

С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:

C 0/7 + C 1/7 + C 2/7 + C 3/7 + C 4/7 + C 5/7 + C 6/7 + C 6/7;
C 6/6 + C 5/6 + C 4/6 + C 3/6 + C 2/6 + C 1/6 + C 0/6;
C 1/6 + C 2/6 + C 3/6 + C 4/6 + C 5/6;
C 6/7 + C 5/7 + C 4/7 + C 3/7 + C 2/7 + C 1/7;
C 0/9 + C 1/9 + C 2/9 + C 3/9 + C 4/9;
C 5/11 + C 4/11 + C 3/11 + C 2/11 + C 1/11 + C 0/11.

Краткий ответ:

Сумма элементов $n$ -ой строки треугольника Паскаля равна $2^n$ ;

$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$ ;
$C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^1 + C_6^0 = 2^6 — C_6^1 = 64 — 6 = 58$ ;
$C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 = 2^6 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62$ ;
$C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1 = 2^7 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126$ ;
$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256$ ;
$C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024$ .

Подробный ответ:

Сумма элементов $n$ -ой строки треугольника Паскаля

Каждая строка треугольника Паскаля соответствует разложению бинома Ньютона $(a + b)^n$ , где элементы строки — это биномиальные коэффициенты:

$C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots, C_n^n.$

Сумма всех элементов $n$ -ой строки треугольника Паскаля равна значению $2^n$ , что следует из теоремы бинома Ньютона, где при $a = 1$ и $b = 1$ мы получаем:

$(1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n.$

Теперь давайте разберемся с каждым пунктом.

1) $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$

В данном примере мы рассматриваем 7-ую строку треугольника Паскаля. Сумма всех элементов 7-ой строки, по теореме бинома Ньютона, равна $2^7$ .

Пояснение:

Все элементы этой строки представляют собой биномиальные коэффициенты от $C_7^0$ до $C_7^7$ .
Сумма всех этих коэффициентов по теореме бинома Ньютона:

$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128.$

Ответ: 128.

2) $C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^1 + C_6^0 = 2^6 — C_6^1 = 64 — 6 = 58$

Здесь мы рассматриваем 6-ую строку треугольника Паскаля. Сначала находим сумму всех элементов этой строки, затем вычитаем значение одного из элементов.

Шаг 1. Сумма всех элементов 6-ой строки:

$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64.$

Шаг 2. Теперь вычитаем $C_6^1$ (равное 6), так как в данном выражении суммируются все элементы, кроме $C_6^1$ :

$64 — C_6^1 = 64 — 6 = 58.$

Ответ: 58.

3) $C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 = 2^6 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62$

Здесь рассматривается сумма элементов 6-ой строки, начиная с $C_6^1$ и заканчивая $C_6^5$ .

Шаг 1. Сумма всех элементов 6-ой строки:

$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64.$

Шаг 2. Вычитаем $C_6^0$ и $C_6^6$ , так как эти элементы не включены в сумму:

$64 — C_6^0 — C_6^6 = 64 — 1 — 1 = 62.$

Ответ: 62.

4) $C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1 = 2^7 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126$

Здесь рассматривается сумма элементов 7-ой строки, начиная с $C_7^1$ и заканчивая $C_7^6$ .

Шаг 1. Сумма всех элементов 7-ой строки:

$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128.$

Шаг 2. Вычитаем $C_7^7$ и $C_7^0$ , так как эти элементы не включены в сумму:

$128 — C_7^7 — C_7^0 = 128 — 1 — 1 = 126.$

Ответ: 126.

5) $C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256$

Здесь рассматривается сумма первых пяти элементов 9-ой строки треугольника Паскаля.

Шаг 1. Сумма всех элементов 9-ой строки:

$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 + C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 = 2^9 = 512.$

Шаг 2. Поскольку по симметрии треугольника Паскаля сумма первых пяти элементов равна половине от всей суммы (из-за симметричности коэффициентов), то:

$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^9 = 2^8 = 256.$

Ответ: 256.

6) $C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024$

Здесь рассматривается сумма всех элементов 11-ой строки треугольника Паскаля, начиная с $C_{11}^0$ и заканчивая $C_{11}^5$ .

Шаг 1. Сумма всех элементов 11-ой строки:

$C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5 + C_{11}^6 + C_{11}^7 + C_{11}^8 + C_{11}^9 + C_{11}^{10} + C_{11}^{11} = 2^{11} = 2048.$

Шаг 2. Поскольку сумма первых шести элементов (от $C_{11}^0$ до $C_{11}^5$ ) составляет половину всей суммы, то:

$C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5 = \frac{1}{2} \cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024.$

Ответ: 1024.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы