ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1094 Алимов — Подробные Ответы

Найти четвёртый член разложения бинома:

1. ((корень x) +x)12;
2. (x- (корень x))14;
3. (x — 1/x)13;
4. (1/x +x)11;
5. (a0,1 + a0,2)9;
6. (b0,3 + b0,4)8.

Общий член разложения бинома Ньютона имеет вид:

$$(a + b)^m = C_m^n \cdot a^{m-n} \cdot b^n;$$

1) $(\sqrt{x} + x)^{12}$;

Четвертый член разложения:

$$C_{12}^3 \cdot (\sqrt{x})^{12-3} \cdot x^3 = \frac{12!}{(12-3)! \cdot 3!} \cdot (\sqrt{x})^9 \cdot x^3 = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot x^4 \sqrt{x} \cdot x^3 =$$ $$= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3 \cdot 2} \cdot x^7 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 11 \cdot 5 \cdot x^{\frac{14}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 220x^{\frac{15}{2}};$$

Ответ: $220x^{\frac{15}{2}}$.

2) $(x — \sqrt{x})^{14}$;

Четвертый член разложения:

$$C_{14}^3 \cdot x^{14-3} \cdot (-\sqrt{x})^3 = \frac{14!}{(14-3)! \cdot 3!} \cdot x^{11} \cdot \left(-x^{\frac{1}{2}}\right)^3 = -\frac{14!}{11! \cdot 3!} \cdot x^{\frac{22}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} =$$ $$= -\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 3 \cdot 2} \cdot x^{\frac{25}{2}} = -14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot x^{\frac{25}{2}} = -364x^{\frac{25}{2}};$$

Ответ: $-364x^{\frac{25}{2}}$.

3) $\left(x — \frac{1}{x}\right)^{13}$;

Четвертый член разложения:

$$C_{13}^3 \cdot x^{13-3} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^3 = \frac{13!}{(13-3)! \cdot 3!} \cdot x^{10} \cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right) = -\frac{13!}{10! \cdot 3!} \cdot x^7 =$$ $$= -\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot 3 \cdot 2} \cdot x^7 = -13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot x^7 = -286x^7;$$

Ответ: $-286x^7$.

4) $\left(\frac{1}{x} + x\right)^{11}$;

Четвертый член разложения:

$$C_{11}^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{11-3} \cdot x^3 = \frac{11!}{(11-3)! \cdot 3!} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^8 \cdot x^3 = \frac{11!}{8! \cdot 3!} \cdot \frac{1}{x^8} \cdot x^3 =$$ $$= \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 3 \cdot 2} \cdot x^{-5} = 11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot x^{-5} = 165x^{-5};$$

Ответ: $165x^{-5}$.

5) $(a^{0.1} + a^{0.2})^9$;

Четвертый член разложения:

$$C_9^3 \cdot (a^{0.1})^{9-3} \cdot (a^{0.2})^3 = \frac{9!}{(9-3)! \cdot 3!} \cdot (a^{0.1})^6 \cdot a^{0.6} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \cdot a^{0.6} \cdot a^{0.6} =$$ $$= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2} \cdot a^{1.2} = 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot a^{1.2} = 84a^{1.2};$$

Ответ: $84a^{1.2}$.

6) $(b^{0.3} + b^{0.4})^8$;

Четвертый член разложения:

$$C_8^3 \cdot (b^{0.3})^{8-3} \cdot (b^{0.4})^3 = \frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!} \cdot (b^{0.3})^5 \cdot b^{1.2} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot b^{1.5} \cdot b^{1.2} =$$ $$= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2} \cdot b^{2.7} = 4 \cdot 7 \cdot 2 \cdot b^{2.7} = 56b^{2.7};$$

Ответ: $56b^{2.7}$.

Общий член разложения бинома Ньютона:

Для бинома Ньютона $(a + b)^m$ общий член разложения имеет вид:

$$C_m^n \cdot a^{m-n} \cdot b^n,$$

где:

• $C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$ — это биномиальный коэффициент,
• $a^{m-n}$ — степень первого элемента $a$,
• $b^n$ — степень второго элемента $b$,
• $n$ — это индекс текущего члена разложения (от 0 до $m$).

Для примера разложения бинома Ньютона $(a + b)^m$ находим четвёртый член разложения (для $n = 3$).

1) $(\sqrt{x} + x)^{12}$

Заданный биномиальный выражение — $(\sqrt{x} + x)^{12}$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения. Это значит, что $n = 3$.

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_{12}^3 \cdot (\sqrt{x})^{12-3} \cdot x^3.$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_{12}^3$:

$$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 9! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_{12}^3 \cdot (\sqrt{x})^{9} \cdot x^3 = 220 \cdot (\sqrt{x})^9 \cdot x^3.$$

Шаг 3. Разберём степень для $\sqrt{x}$. Напоминаю, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, поэтому:

$$(\sqrt{x})^9 = (x^{\frac{1}{2}})^9 = x^{\frac{9}{2}}.$$

Теперь, выражение становится:

$$220 \cdot x^{\frac{9}{2}} \cdot x^3.$$

Шаг 4. Суммируем степени $x$:

$$x^{\frac{9}{2}} \cdot x^3 = x^{\frac{9}{2} + 3} = x^{\frac{9}{2} + \frac{6}{2}} = x^{\frac{15}{2}}.$$

Ответ:

$$220 \cdot x^{\frac{15}{2}}.$$

2) $(x — \sqrt{x})^{14}$

Заданный биномиальный выражение — $(x — \sqrt{x})^{14}$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения (для $n = 3$).

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_{14}^3 \cdot x^{14-3} \cdot (-\sqrt{x})^3 = C_{14}^3 \cdot x^{11} \cdot (-\sqrt{x})^3.$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_{14}^3$:

$$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!11!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 11! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_{14}^3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{6} = 364.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_{14}^3 \cdot x^{11} \cdot (-\sqrt{x})^3 = 364 \cdot x^{11} \cdot (-x^{\frac{1}{2}})^3.$$

Шаг 3. Разбираем степень для $(-x^{\frac{1}{2}})^3$:

$$(-x^{\frac{1}{2}})^3 = -x^{\frac{3}{2}}.$$

Теперь выражение становится:

$$364 \cdot x^{11} \cdot (-x^{\frac{3}{2}}) = -364 \cdot x^{11 + \frac{3}{2}} = -364 \cdot x^{\frac{22}{2} + \frac{3}{2}} = -364 \cdot x^{\frac{25}{2}}.$$

Ответ:

$$-364x^{\frac{25}{2}}.$$

3) $\left(x — \frac{1}{x}\right)^{13}$

Заданный биномиальный выражение — $\left(x — \frac{1}{x}\right)^{13}$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения (для $n = 3$).

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_{13}^3 \cdot x^{13-3} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^3 = C_{13}^3 \cdot x^{10} \cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right).$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_{13}^3$:

$$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!10!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 10! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_{13}^3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_{13}^3 \cdot x^{10} \cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right) = 286 \cdot x^{10} \cdot \left(-x^{-3}\right).$$

Шаг 3. Суммируем степени $x$:

$$x^{10} \cdot x^{-3} = x^{10 — 3} = x^7.$$

Теперь выражение становится:

$$286 \cdot (-x^7) = -286x^7.$$

Ответ:

$$-286x^7.$$

4) $\left(\frac{1}{x} + x\right)^{11}$

Заданный биномиальный выражение — $\left(\frac{1}{x} + x\right)^{11}$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения (для $n = 3$).

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_{11}^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{11-3} \cdot x^3 = C_{11}^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^8 \cdot x^3.$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_{11}^3$:

$$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!8!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 8! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_{11}^3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{6} = 165.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_{11}^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^8 \cdot x^3 = 165 \cdot \frac{1}{x^8} \cdot x^3.$$

Шаг 3. Суммируем степени $x$:

$$x^{-8} \cdot x^3 = x^{-8 + 3} = x^{-5}.$$

Теперь выражение становится:

$$165 \cdot x^{-5}.$$

Ответ:

$$165x^{-5}.$$

5) $(a^{0.1} + a^{0.2})^9$

Заданный биномиальный выражение — $(a^{0.1} + a^{0.2})^9$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения (для $n = 3$).

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_9^3 \cdot (a^{0.1})^{9-3} \cdot (a^{0.2})^3 = C_9^3 \cdot (a^{0.1})^6 \cdot a^{0.6}.$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_9^3$:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3!6!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 6! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_9^3 \cdot (a^{0.1})^6 \cdot a^{0.6} = 84 \cdot a^{0.6} \cdot a^{0.6}.$$

Шаг 3. Суммируем степени $a$:

$$a^{0.6} \cdot a^{0.6} = a^{1.2}.$$

Теперь выражение становится:

$$84 \cdot a^{1.2}.$$

Ответ:

$$84a^{1.2}.$$

6) $(b^{0.3} + b^{0.4})^8$

Заданный биномиальный выражение — $(b^{0.3} + b^{0.4})^8$.

Нам нужно найти четвёртый член разложения (для $n = 3$).

Используем общий член разложения бинома Ньютона:

$$C_8^3 \cdot (b^{0.3})^{8-3} \cdot (b^{0.4})^3 = C_8^3 \cdot (b^{0.3})^5 \cdot b^{1.2}.$$

Шаг 1. Находим биномиальный коэффициент $C_8^3$:

$$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!}.$$

Рассчитаем факториалы:

$$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, \quad 5! \text{ — сокращается с числителем}.$$

Итак:

$$C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56.$$

Шаг 2. Подставляем в выражение для члена:

$$C_8^3 \cdot (b^{0.3})^5 \cdot b^{1.2} = 56 \cdot b^{1.5} \cdot b^{1.2}.$$

Шаг 3. Суммируем степени $b$:

$$b^{1.5} \cdot b^{1.2} = b^{2.7}.$$

Теперь выражение становится:

$$56 \cdot b^{2.7}.$$

Ответ:

$$56b^{2.7}.$$