ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1093 Алимов — Подробные Ответы

Записать разложение бинома:

1. (1+ корень 2)6;
2. (1+ корень 3)5;
3. (a — 1/3a)7;
4. (b-1/2b)6.

Для нахождения биномиальных коэффициентов воспользуемся треугольником Паскаля, представленным на странице 331 учебника

Бином Ньютона:

$$(a + b)^m = C^m_0 \cdot a^m + C^m_1 \cdot a^{m-1} \cdot b + C^m_2 \cdot a^{m-2} \cdot b^2 + \dots + C^m_m \cdot b^m$$

$1)\; (1+\sqrt{2}{)}^6=1\cdot 16+6\cdot 15\cdot \sqrt{2}+15\cdot 14\cdot (\sqrt{2}{)}^2+20\cdot 13\cdot (\sqrt{2}{)}^3+15\cdot 12\cdot (\sqrt{2}{)}^4+$

$+6\cdot 1\cdot (\sqrt{2}{)}^5+1\cdot (\sqrt{2}{)}^6=1+6\sqrt{2}+15\cdot 2+20\cdot 2\sqrt{2}+15\cdot 2\cdot 6+2\cdot 2\cdot 2=$

$(1 + \sqrt{2})^6 = 1 \cdot 16 + 6 \cdot 15 \cdot \sqrt{2} + 15 \cdot 14 \cdot (\sqrt{2})^2 + 20 \cdot 13 \cdot (\sqrt{2})^3 + 15 \cdot 12 \cdot (\sqrt{2})^4 + 6 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^5 + 1 \cdot (\sqrt{2})^6 = 1 + 6\sqrt{2} + 15 \cdot 2 + 20 \cdot 2\sqrt{2} + 15 \cdot 2 \cdot 6 + 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1 + 6\sqrt{2} + 30 + 40\sqrt{2} + 60 + 24\sqrt{2} + 8 = 99 + 70\sqrt{2}$

Ответ: $99 + 70\sqrt{2}$

$2)\; (1+\sqrt{3}{)}^5=1\cdot 15+5\cdot 14\cdot \sqrt{3}+10\cdot 13\cdot (\sqrt{3}{)}^2+10\cdot 12\cdot (\sqrt{3}{)}^3+5\cdot 11\cdot (\sqrt{3}{)}^4+$

$(1 + \sqrt{3})^5 = 1 \cdot 15 + 5 \cdot 14 \cdot \sqrt{3} + 10 \cdot 13 \cdot (\sqrt{3})^2 + 10 \cdot 12 \cdot (\sqrt{3})^3 + 5 \cdot 11 \cdot (\sqrt{3})^4 + 1 \cdot 10 \cdot (\sqrt{3})^5 = 1 + 5\sqrt{3} + 10 \cdot 3 + 30\sqrt{3} + 45 + 9\sqrt{3} = 76 + 44\sqrt{3}$

Ответ: $76 + 44\sqrt{3}$

$3)\; (a-\frac{1}{3a}{)}^7=1\cdot a^7+7\cdot a^6\cdot (-\frac{1}{3a})+21\cdot a^5\cdot {(-\frac{1}{3a})}^2+35\cdot a^4\cdot {(-\frac{1}{3a})}^3+$

$+35\cdot a^3\cdot {(-\frac{1}{3a})}^4+21\cdot a^2\cdot {(-\frac{1}{3a})}^5+7\cdot a\cdot {(-\frac{1}{3a})}^6+1\cdot {(-\frac{1}{3a})}^7=$

$(a — \frac{1}{3a})^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right) + 21 \cdot a^5 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^2 + 35 \cdot a^4 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^3 + 35 \cdot a^3 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^4 + 21 \cdot a^2 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^5 + 7 \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^6 + 1 \cdot \left(-\frac{1}{3a}\right)^7 = a^7 — 7a^5 — 21a^3 — 35a + 35a^5 — 21a^3 — 7a + \frac{7}{729a^6} = a^7 — \frac{7}{3}a^5 — \frac{35}{27}a^3 + \frac{35}{81}a + \frac{7}{729}a^{-6}$

$4)\; (b-\frac{1}{2b}{)}^6=1\cdot b^6+6\cdot b^5\cdot (-\frac{1}{2b})+15\cdot b^4\cdot {(-\frac{1}{2b})}^2+20\cdot b^3\cdot {(-\frac{1}{2b})}^3+15\cdot b^2\cdot {(-\frac{1}{2b})}^4+$

$(b — \frac{1}{2b})^6 = 1 \cdot b^6 + 6 \cdot b^5 \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right) + 15 \cdot b^4 \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right)^2 + 20 \cdot b^3 \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right)^3 + 15 \cdot b^2 \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right)^4 + 6 \cdot b \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right)^5 + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2b}\right)^6 = b^6 — 3b^4 — 15b^2 — 20b + 15b^4 — 6b^2 + 1b^{-6}$

Задание 1

Выражение:

$$(1 + \sqrt{2})^6$$

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(a + b)^m = C^m_0 \cdot a^m + C^m_1 \cdot a^{m-1} \cdot b + C^m_2 \cdot a^{m-2} \cdot b^2 + \dots + C^m_m \cdot b^m$$

где $C^m_k$ — это биномиальный коэффициент (коэффициент из треугольника Паскаля).

Заменим $a = 1$, $b = \sqrt{2}$ и $m = 6$. Тогда выражение развернется по биному Ньютона следующим образом:

$$(1 + \sqrt{2})^6 = C^6_0 \cdot 1^6 + C^6_1 \cdot 1^5 \cdot \sqrt{2} + C^6_2 \cdot 1^4 \cdot (\sqrt{2})^2 + C^6_3 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{2})^3 + C^6_4 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{2})^4 + C^6_5 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{2})^5 + C^6_6 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{2})^6$$

Биномиальные коэффициенты:

Для $m = 6$ биномиальные коэффициенты из треугольника Паскаля:

$$C^6_0 = 1, \quad C^6_1 = 6, \quad C^6_2 = 15, \quad C^6_3 = 20, \quad C^6_4 = 15, \quad C^6_5 = 6, \quad C^6_6 = 1$$

Теперь подставим эти коэффициенты в формулу:

$$(1 + \sqrt{2})^6 = 1 \cdot 1^6 + 6 \cdot 1^5 \cdot \sqrt{2} + 15 \cdot 1^4 \cdot (\sqrt{2})^2 + 20 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{2})^3 + 15 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{2})^4 + 6 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{2})^5 + 1 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{2})^6$$

Преобразуем каждое слагаемое:

• $1^6 = 1$
• $1^5 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$
• $(\sqrt{2})^2 = 2$
• $(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}$
• $(\sqrt{2})^4 = 4$
• $(\sqrt{2})^5 = \sqrt{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2}$
• $(\sqrt{2})^6 = 8$

Таким образом, подставляем эти значения:

$$(1 + \sqrt{2})^6 = 1 + 6\sqrt{2} + 15 \cdot 2 + 20 \cdot 2\sqrt{2} + 15 \cdot 4 + 6 \cdot 4\sqrt{2} + 8$$

Упрощаем:

$$(1 + \sqrt{2})^6 = 1 + 6\sqrt{2} + 30 + 40\sqrt{2} + 60 + 24\sqrt{2} + 8$$

Теперь сгруппируем подобные члены (слагаемые с $\sqrt{2}$ и без):

$$= (1 + 30 + 60 + 8) + (6\sqrt{2} + 40\sqrt{2} + 24\sqrt{2})$$ $$= 99 + 70\sqrt{2}$$

Ответ:

$$99 + 70\sqrt{2}$$

Задание 2

Выражение:

$$(1 + \sqrt{3})^5$$

Снова применим формулу бинома Ньютона. В данном случае $a = 1$, $b = \sqrt{3}$ и $m = 5$.

$$(1 + \sqrt{3})^5 = C^5_0 \cdot 1^5 + C^5_1 \cdot 1^4 \cdot \sqrt{3} + C^5_2 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{3})^2 + C^5_3 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{3})^3 + C^5_4 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{3})^4 + C^5_5 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{3})^5$$

Биномиальные коэффициенты для $m = 5$:

$$C^5_0 = 1, \quad C^5_1 = 5, \quad C^5_2 = 10, \quad C^5_3 = 10, \quad C^5_4 = 5, \quad C^5_5 = 1$$

Подставляем коэффициенты:

$$(1 + \sqrt{3})^5 = 1 \cdot 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot \sqrt{3} + 10 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{3})^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{3})^3 + 5 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{3})^4 + 1 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{3})^5$$

Преобразуем каждое слагаемое:

• $1^5 = 1$
• $1^4 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$
• $(\sqrt{3})^2 = 3$
• $(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3}$
• $(\sqrt{3})^4 = 9$
• $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3} \cdot 9 = 9\sqrt{3}$

Подставляем эти значения:

$$(1 + \sqrt{3})^5 = 1 + 5\sqrt{3} + 10 \cdot 3 + 10 \cdot 3\sqrt{3} + 5 \cdot 9 + 9\sqrt{3}$$

Упрощаем:

$$= 1 + 5\sqrt{3} + 30 + 30\sqrt{3} + 45 + 9\sqrt{3}$$

Группируем подобные члены:

$$= (1 + 30 + 45) + (5\sqrt{3} + 30\sqrt{3} + 9\sqrt{3})$$ $$= 76 + 44\sqrt{3}$$

Ответ:

$$76 + 44\sqrt{3}$$

Задание 3

Выражение:

$$(a — \frac{1}{3a})^7$$

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(a — \frac{1}{3a})^7 = C^7_0 \cdot a^7 + C^7_1 \cdot a^6 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right) + C^7_2 \cdot a^5 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^2 + \dots$$

Заменим $a = a$ и $b = -\frac{1}{3a}$, где $C^7_k$ — это биномиальные коэффициенты. Для $m = 7$ биномиальные коэффициенты из треугольника Паскаля:

$$C^7_0 = 1, \quad C^7_1 = 7, \quad C^7_2 = 21, \quad C^7_3 = 35, \quad C^7_4 = 35, \quad C^7_5 = 21, \quad C^7_6 = 7, \quad C^7_7 = 1$$

Подставим эти коэффициенты в разложение:

$$(a-\frac{1}{3a}{)}^7=1\cdot a^7+7\cdot a^6\cdot (-\frac{1}{3a})+21\cdot a^5\cdot {(-\frac{1}{3a})}^2+35\cdot a^4\cdot {(-\frac{1}{3a})}^3+$$

$$(a — \frac{1}{3a})^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right) + 21 \cdot a^5 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^2 + 35 \cdot a^4 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^3 + 35 \cdot a^3 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^4 + 21 \cdot a^2 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^5 + 7 \cdot a \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^6 + 1 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^7$$

Теперь каждое слагаемое нужно преобразовать:

• $a^7$ — это просто $a^7$.
• $a^6 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right) = -\frac{1}{3} a^5$.
• $a^5 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^2 = 21 \cdot \frac{1}{9} a^4 = \frac{21}{9} a^4 = \frac{7}{3} a^4$.
• $a^4 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^3 = -35 \cdot \frac{1}{27} a^3 = \frac{-35}{27} a^3$.
• $a^3 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^4 = 35 \cdot \frac{1}{81} a^2 = \frac{35}{81} a^2$.
• $a^2 \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^5 = -21 \cdot \frac{1}{243} a = \frac{-21}{243} a = \frac{-7}{81} a$.
• $a \cdot \left( -\frac{1}{3a} \right)^6 = 7 \cdot \frac{1}{729} = \frac{7}{729}$.

Теперь собираем все эти члены:

$$= a^7 — \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{9}a^4 — \frac{35}{27}a^3 + \frac{35}{81}a^2 — \frac{7}{243}a + \frac{7}{729}$$

Ответ:

$$a^7 — \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{9}a^4 — \frac{35}{27}a^3 + \frac{35}{81}a^2 — \frac{7}{243}a + \frac{7}{729}$$

Задание 4

Выражение:

$$(b — \frac{1}{2b})^6$$

Применим формулу бинома Ньютона для $a = b$, $b = -\frac{1}{2b}$ и $m = 6$. Сначала развернем выражение:

$$(b — \frac{1}{2b})^6 = C^6_0 \cdot b^6 + C^6_1 \cdot b^5 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right) + C^6_2 \cdot b^4 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^2 + \dots$$

Для $m = 6$ биномиальные коэффициенты из треугольника Паскаля:

$$C^6_0 = 1, \quad C^6_1 = 6, \quad C^6_2 = 15, \quad C^6_3 = 20, \quad C^6_4 = 15, \quad C^6_5 = 6, \quad C^6_6 = 1$$

Подставим эти коэффициенты в разложение:

$$(b-\frac{1}{2b}{)}^6=1\cdot b^6+6\cdot b^5\cdot (-\frac{1}{2b})+15\cdot b^4\cdot {(-\frac{1}{2b})}^2+20\cdot b^3\cdot {(-\frac{1}{2b})}^3+$$

$$(b — \frac{1}{2b})^6 = 1 \cdot b^6 + 6 \cdot b^5 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right) + 15 \cdot b^4 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^2 + 20 \cdot b^3 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^3 + 15 \cdot b^2 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^4 + 6 \cdot b \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^5 + 1 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^6$$

Теперь преобразуем каждое слагаемое:

• $b^6$ — это просто $b^6$.
• $b^5 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right) = -\frac{1}{2} b^4$.
• $b^4 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^2 = 15 \cdot \frac{1}{4} b^3 = \frac{15}{4} b^3$.
• $b^3 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^3 = -20 \cdot \frac{1}{8} b^2 = \frac{-20}{8} b^2 = \frac{-5}{2} b^2$.
• $b^2 \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{16} b = \frac{15}{16} b$.
• $b \cdot \left( -\frac{1}{2b} \right)^5 = -6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{-6}{32} = \frac{-3}{16}$.
• $\left( -\frac{1}{2b} \right)^6 = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.

Теперь соберем все эти члены:

$$= b^6 — \frac{1}{2} b^4 + \frac{15}{4} b^3 — \frac{5}{2} b^2 + \frac{15}{16} b — \frac{3}{16} + \frac{1}{64}$$

Упрощаем:

$$= b^6 — \frac{1}{2} b^4 + \frac{15}{4} b^3 — \frac{5}{2} b^2 + \frac{15}{16} b — \frac{3}{16} + \frac{1}{64}$$

Ответ:

$$b^6 — \frac{1}{2} b^4 + \frac{15}{4} b^3 — \frac{5}{2} b^2 + \frac{15}{16} b — \frac{3}{16} + \frac{1}{64}$$