ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1092 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Записать разложение бинома:

(1+x)8;
(x+1)7;
(a-1)9;
(y-1)10;
(2x+1)5;
(x+2)6;
(3x+2)4;
(2a+3)5;
(2a — 1/2)5;
(3x — 1/3)4.

Краткий ответ:

Для нахождения биномиальных коэффициентов воспользуемся треугольником Паскаля, представленным на странице 331 учебника.

Бином Ньютона:

$(a + b)^{m} = C_{m}^{0} \cdot a^{m} + C_{m}^{1} \cdot a^{m - 1} \cdot b + C_{m}^{2} \cdot a^{m - 2} \cdot b^{2} + \dots + C_{m}^{m} \cdot b^{m};$

$1) (1 + x)^{8} = 1 \cdot 1^{8} + 8 \cdot 1^{7} \cdot x + 28 \cdot 1^{6} \cdot x^{2} + 56 \cdot 1^{5} \cdot x^{3} + 70 \cdot 1^{4} \cdot x^{4} +$

$+ 56 \cdot 1^{3} \cdot x^{5} + 28 \cdot 1^{2} \cdot x^{6} + 8 \cdot 1 \cdot x^{7} + 1 \cdot x^{8} =$

$= 1 + 8 x + 28 x^{2} + 56 x^{3} + 70 x^{4} + 56 x^{5} + 28 x^{6} + 8 x^{7} + x^{8};$

$2) (x + 1)^{7} = 1 \cdot x^{7} + 7 \cdot x^{6} \cdot 1 + 21 \cdot x^{5} \cdot 1^{2} + 35 \cdot x^{4} \cdot 1^{3} + 35 \cdot x^{3} \cdot 1^{4} +$

$+ 21 \cdot x^{2} \cdot 1^{5} + 7 \cdot x \cdot 1^{6} + 1 \cdot 1^{7} =$

$= x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1;$

$3) (a - 1)^{9} = 1 \cdot a^{9} + 9 \cdot a^{8} \cdot (- 1) + 36 \cdot a^{7} \cdot (- 1)^{2} + 84 \cdot a^{6} \cdot (- 1)^{3} +$

$+ 126 \cdot a^{5} \cdot (- 1)^{4} + 126 \cdot a^{4} \cdot (- 1)^{5} + 84 \cdot a^{3} \cdot (- 1)^{6} + 36 \cdot a^{2} \cdot (- 1)^{7} +$

$+ 9 \cdot a \cdot (- 1)^{8} + 1 \cdot (- 1)^{9} =$

$= a^{9} - 9 a^{8} + 36 a^{7} - 84 a^{6} + 126 a^{5} - 126 a^{4} + 84 a^{3} - 36 a^{2} + 9 a - 1;$

$4) (y - 1)^{10} = 1 \cdot y^{10} + 10 \cdot y^{9} \cdot (- 1) + 45 \cdot y^{8} \cdot (- 1)^{2} + 120 \cdot y^{7} \cdot (- 1)^{3} +$

$+ 210 \cdot y^{6} \cdot (- 1)^{4} + 252 \cdot y^{5} \cdot (- 1)^{5} + 210 \cdot y^{4} \cdot (- 1)^{6} + 120 \cdot y^{3} \cdot (- 1)^{7} +$

$+ 45 \cdot y^{2} \cdot (- 1)^{8} + 10 \cdot y \cdot (- 1)^{9} + 1 \cdot (- 1)^{10} =$

$= y^{10} - 10 y^{9} + 45 y^{8} - 120 y^{7} + 210 y^{6} - 252 y^{5} + 210 y^{4} - 120 y^{3} +$

$+ 45 y^{2} - 10 y + 1;$

$5) (2 x + 1)^{5} = 1 \cdot (2 x)^{5} + 5 \cdot (2 x)^{4} \cdot 1 + 10 \cdot (2 x)^{3} \cdot 1^{2} + 10 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1^{3} +$

$+ 5 \cdot 2 x \cdot 1^{4} + 1 \cdot 1^{5} = 32 x^{5} + 5 \cdot 16 x^{4} + 10 \cdot 8 x^{3} + 10 \cdot 4 x^{2} + 10 x + 1 =$

$= 32 x^{5} + 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 1;$

$6) (x + 2)^{6} = 1 \cdot x^{6} + 6 \cdot x^{5} \cdot 2 + 15 \cdot x^{4} \cdot 2^{2} + 20 \cdot x^{3} \cdot 2^{3} + 15 \cdot x^{2} \cdot 2^{4} +$

$+ 6 \cdot x \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{6} = x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64;$

$7) (3 x + 2)^{4} = 1 \cdot (3 x)^{4} + 4 \cdot (3 x)^{3} \cdot 2 + 6 \cdot (3 x)^{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3 x \cdot 2^{3} +$

$+ 1 \cdot 2^{4} = 81 x^{4} + 8 \cdot 27 x^{3} + 6 \cdot 9 x^{2} \cdot 4 + 12 x \cdot 8 + 16 =$

$= 81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16;$

$8) (2 a + 3)^{5} = 1 \cdot (2 a)^{5} + 5 \cdot (2 a)^{4} \cdot 3 + 10 \cdot (2 a)^{3} \cdot 3^{2} + 10 \cdot (2 a)^{2} \cdot 3^{3} +$

$+ 5 \cdot 2 a \cdot 3^{4} + 1 \cdot 3^{5} =$

$= 32 a^{5} + 15 \cdot 16 a^{4} + 10 \cdot 8 a^{3} \cdot 9 + 10 \cdot 4 a^{2} \cdot 27 + 10 a \cdot 81 + 243 =$

$= 32 a^{5} + 240 a^{4} + 720 a^{3} + 1080 a^{2} + 810 a + 243;$

${9) (2 a - \frac{1}{2})}^{5} = 1 \cdot (2 a)^{5} + 5 \cdot (2 a)^{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + 10 \cdot (2 a)^{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2} +$

$+ 10 \cdot (2 a)^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} + 5 \cdot 2 a \cdot {(- \frac{1}{2})}^{4} + 1 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{5} =$

$= 32 a^{5} - \frac{5}{2} \cdot 16 a^{4} + 10 \cdot 8 a^{3} \cdot \frac{1}{4} - 10 \cdot 4 a^{2} \cdot \frac{1}{8} + 10 a \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{32} =$

$= 32 a^{5} - 40 a^{4} + 20 a^{3} - 5 a^{2} + \frac{5}{8} a - \frac{1}{32};$

${10) (3 x - \frac{1}{3})}^{4} = 1 \cdot (3 x)^{4} + 4 \cdot (3 x)^{3} \cdot (- \frac{1}{3}) + 6 \cdot (3 x)^{2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2} +$

$+ 4 \cdot 3 x \cdot {(- \frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{4} = 81 x^{4} - \frac{4}{3} \cdot 27 x^{3} + 6 \cdot 9 x^{2} \cdot \frac{1}{9} - 12 x \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{81} =$

$= 81 x^{4} - 36 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{4}{9} x + \frac{1}{81}$

Подробный ответ:

Бином Ньютона:

$(a + b)^{m} = C_{m}^{0} \cdot a^{m} + C_{m}^{1} \cdot a^{m - 1} \cdot b + C_{m}^{2} \cdot a^{m - 2} \cdot b^{2} + \dots + C_{m}^{m} \cdot b^{m}$

где:

$C_{m}^{k}$ — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: $C_{m}^{k} = \frac{m!}{k! (m - k)!}$
$m$ — это степень, в которую возводится биномиальное выражение.

Давайте теперь применим это к различным примерам:

Задача 1: $(1 + x)^{8}$

Для разложения $(1 + x)^{8}$ мы будем использовать биномиальные коэффициенты, соответствующие степени 8.

$(1 + x)^{8} = C_{8}^{0} \cdot 1^{8} + C_{8}^{1} \cdot 1^{7} \cdot x + C_{8}^{2} \cdot 1^{6} \cdot x^{2} + C_{8}^{3} \cdot 1^{5} \cdot x^{3} + \dots + C_{8}^{8} \cdot x^{8}$

Сначала найдем биномиальные коэффициенты для $C_{8}^{k}$ , где $k = 0, 1, 2, \dots, 8$ .

$C_{8}^{0} = 1$
$C_{8}^{1} = 8$
$C_{8}^{2} = 28$
$C_{8}^{3} = 56$
$C_{8}^{4} = 70$
$C_{8}^{5} = 56$
$C_{8}^{6} = 28$
$C_{8}^{7} = 8$
$C_{8}^{8} = 1$

Теперь подставим эти значения в разложение:

$(1 + x)^{8} = 1 + 8 x + 28 x^{2} + 56 x^{3} + 70 x^{4} + 56 x^{5} + 28 x^{6} + 8 x^{7} + x^{8}$

Ответ для задачи 1: $(1 + x)^{8} = 1 + 8 x + 28 x^{2} + 56 x^{3} + 70 x^{4} + 56 x^{5} + 28 x^{6} + 8 x^{7} + x^{8}$

Задача 2: $(x + 1)^{7}$

Теперь разложим $(x + 1)^{7}$ :

$(x + 1)^{7} = C_{7}^{0} \cdot x^{7} + C_{7}^{1} \cdot x^{6} \cdot 1 + C_{7}^{2} \cdot x^{5} \cdot 1^{2} + C_{7}^{3} \cdot x^{4} \cdot 1^{3} + \dots + C_{7}^{7} \cdot 1^{7}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{7}^{k}$ :

$C_{7}^{0} = 1$
$C_{7}^{1} = 7$
$C_{7}^{2} = 21$
$C_{7}^{3} = 35$
$C_{7}^{4} = 35$
$C_{7}^{5} = 21$
$C_{7}^{6} = 7$
$C_{7}^{7} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(x + 1)^{7} = x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1$

Ответ для задачи 2: $(x + 1)^{7} = x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1$

Задача 3: $(a - 1)^{9}$

Рассмотрим разложение $(a - 1)^{9}$ :

$(a - 1)^{9} = C_{9}^{0} \cdot a^{9} + C_{9}^{1} \cdot a^{8} \cdot (- 1) + C_{9}^{2} \cdot a^{7} \cdot (- 1)^{2} + C_{9}^{3} \cdot a^{6} \cdot (- 1)^{3} + \dots + C_{9}^{9} \cdot (- 1)^{9}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{9}^{k}$ :

$C_{9}^{0} = 1$
$C_{9}^{1} = 9$
$C_{9}^{2} = 36$
$C_{9}^{3} = 84$
$C_{9}^{4} = 126$
$C_{9}^{5} = 126$
$C_{9}^{6} = 84$
$C_{9}^{7} = 36$
$C_{9}^{8} = 9$
$C_{9}^{9} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(a - 1)^{9} = a^{9} - 9 a^{8} + 36 a^{7} - 84 a^{6} + 126 a^{5} - 126 a^{4} + 84 a^{3} - 36 a^{2} + 9 a - 1$

Ответ для задачи 3: $(a - 1)^{9} = a^{9} - 9 a^{8} + 36 a^{7} - 84 a^{6} + 126 a^{5} - 126 a^{4} + 84 a^{3} - 36 a^{2} + 9 a - 1$

Задача 4: $(y - 1)^{10}$

Для разложения $(y - 1)^{10}$ :

$(y - 1)^{10} = C_{10}^{0} \cdot y^{10} + C_{10}^{1} \cdot y^{9} \cdot (- 1) + C_{10}^{2} \cdot y^{8} \cdot (- 1)^{2} + \dots + C_{10}^{10} \cdot (- 1)^{10}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{10}^{k}$ :

$C_{10}^{0} = 1$
$C_{10}^{1} = 10$
$C_{10}^{2} = 45$
$C_{10}^{3} = 120$
$C_{10}^{4} = 210$
$C_{10}^{5} = 252$
$C_{10}^{6} = 210$
$C_{10}^{7} = 120$
$C_{10}^{8} = 45$
$C_{10}^{9} = 10$
$C_{10}^{10} = 1$

Подставим значения в разложение:

$(y - 1)^{10} = y^{10} - 10 y^{9} + 45 y^{8} - 120 y^{7} + 210 y^{6} - 252 y^{5} + 210 y^{4} - 120 y^{3} + 45 y^{2} - 10 y + 1$

Ответ для задачи 4: $(y - 1)^{10} = y^{10} - 10 y^{9} + 45 y^{8} - 120 y^{7} + 210 y^{6} - 252 y^{5} + 210 y^{4} - 120 y^{3} + 45 y^{2} - 10 y + 1$

Задача 5: $(2 x + 1)^{5}$

Рассмотрим разложение $(2 x + 1)^{5}$ :

$(2 x + 1)^{5} = C_{5}^{0} \cdot (2 x)^{5} + C_{5}^{1} \cdot (2 x)^{4} \cdot 1 + C_{5}^{2} \cdot (2 x)^{3} \cdot 1^{2} + \dots + C_{5}^{5} \cdot 1^{5}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{5}^{k}$ :

$C_{5}^{0} = 1$
$C_{5}^{1} = 5$
$C_{5}^{2} = 10$
$C_{5}^{3} = 10$
$C_{5}^{4} = 5$
$C_{5}^{5} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(2 x + 1)^{5} = 32 x^{5} + 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 1$

Ответ для задачи 5: $(2 x + 1)^{5} = 32 x^{5} + 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 1$

Задача 6: $(x + 2)^{6}$

Для разложения $(x + 2)^{6}$ :

$(x + 2)^{6} = C_{6}^{0} \cdot x^{6} + C_{6}^{1} \cdot x^{5} \cdot 2 + C_{6}^{2} \cdot x^{4} \cdot 2^{2} + \dots + C_{6}^{6} \cdot 2^{6}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{6}^{k}$ :

$C_{6}^{0} = 1$
$C_{6}^{1} = 6$
$C_{6}^{2} = 15$
$C_{6}^{3} = 20$
$C_{6}^{4} = 15$
$C_{6}^{5} = 6$
$C_{6}^{6} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(x + 2)^{6} = x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64$

Ответ для задачи 6: $(x + 2)^{6} = x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64$

Задача 7: $(3 x + 2)^{4}$

Рассмотрим разложение $(3 x + 2)^{4}$ :

$(3 x + 2)^{4} = C_{4}^{0} \cdot (3 x)^{4} + C_{4}^{1} \cdot (3 x)^{3} \cdot 2 + C_{4}^{2} \cdot (3 x)^{2} \cdot 2^{2} + C_{4}^{3} \cdot 3 x \cdot 2^{3} + C_{4}^{4} \cdot 2^{4}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{4}^{k}$ :

$C_{4}^{0} = 1$
$C_{4}^{1} = 4$
$C_{4}^{2} = 6$
$C_{4}^{3} = 4$
$C_{4}^{4} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(3 x + 2)^{4} = 1 \cdot (3 x)^{4} + 4 \cdot (3 x)^{3} \cdot 2 + 6 \cdot (3 x)^{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3 x \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{4}$

Выполним вычисления:

$(3 x + 2)^{4} = 81 x^{4} + 108 x^{3} + 72 x^{2} + 32 x + 16$

Ответ для задачи 7: $(3 x + 2)^{4} = 81 x^{4} + 108 x^{3} + 72 x^{2} + 32 x + 16$

Задача 8: $(2 a + 3)^{5}$

Рассмотрим разложение $(2 a + 3)^{5}$ :

$(2 a + 3)^{5} = C_{5}^{0} \cdot (2 a)^{5} + C_{5}^{1} \cdot (2 a)^{4} \cdot 3 + C_{5}^{2} \cdot (2 a)^{3} \cdot 3^{2} + C_{5}^{3} \cdot (2 a)^{2} \cdot 3^{3} + C_{5}^{4} \cdot 2 a \cdot 3^{4} + C_{5}^{5} \cdot 3^{5}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{5}^{k}$ :

$C_{5}^{0} = 1$
$C_{5}^{1} = 5$
$C_{5}^{2} = 10$
$C_{5}^{3} = 10$
$C_{5}^{4} = 5$
$C_{5}^{5} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

$(2 a + 3)^{5} = 1 \cdot (2 a)^{5} + 5 \cdot (2 a)^{4} \cdot 3 + 10 \cdot (2 a)^{3} \cdot 3^{2} + 10 \cdot (2 a)^{2} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 2 a \cdot 3^{4} + 1 \cdot 3^{5}$

Выполним вычисления:

$(2 a + 3)^{5} = 32 a^{5} + 240 a^{4} + 720 a^{3} + 1080 a^{2} + 810 a + 243$

Ответ для задачи 8: $(2 a + 3)^{5} = 32 a^{5} + 240 a^{4} + 720 a^{3} + 1080 a^{2} + 810 a + 243$

Задача 9: ${(2 a - \frac{1}{2})}^{5}$

Рассмотрим разложение ${(2 a - \frac{1}{2})}^{5}$ :

${(2 a - \frac{1}{2})}^{5} = C_{5}^{0} \cdot (2 a)^{5} + C_{5}^{1} \cdot (2 a)^{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + C_{5}^{2} \cdot (2 a)^{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2} +$

$+ C_{5}^{3} \cdot (2 a)^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} + \dots$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{5}^{k}$ :

$C_{5}^{0} = 1$
$C_{5}^{1} = 5$
$C_{5}^{2} = 10$
$C_{5}^{3} = 10$
$C_{5}^{4} = 5$
$C_{5}^{5} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

${(2 a - \frac{1}{2})}^{5} = 1 \cdot (2 a)^{5} + 5 \cdot (2 a)^{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + 10 \cdot (2 a)^{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2} +$

$+ 10 \cdot (2 a)^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} + 5 \cdot 2 a \cdot {(- \frac{1}{2})}^{4} + 1 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{5}$

Выполним вычисления:

${(2 a - \frac{1}{2})}^{5} = 32 a^{5} - 40 a^{4} + 20 a^{3} - 5 a^{2} + \frac{5}{8} a - \frac{1}{32}$

Ответ для задачи 9: ${(2 a - \frac{1}{2})}^{5} = 32 a^{5} - 40 a^{4} + 20 a^{3} - 5 a^{2} + \frac{5}{8} a - \frac{1}{32}$

Задача 10: ${(3 x - \frac{1}{3})}^{4}$

Рассмотрим разложение ${(3 x - \frac{1}{3})}^{4}$ :

${(3 x - \frac{1}{3})}^{4} = C_{4}^{0} \cdot (3 x)^{4} + C_{4}^{1} \cdot (3 x)^{3} \cdot (- \frac{1}{3}) +$

$+ C_{4}^{2} \cdot (3 x)^{2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2} + C_{4}^{3} \cdot 3 x \cdot {(- \frac{1}{3})}^{3} + C_{4}^{4} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{4}$

Вычислим биномиальные коэффициенты для $C_{4}^{k}$ :

$C_{4}^{0} = 1$
$C_{4}^{1} = 4$
$C_{4}^{2} = 6$
$C_{4}^{3} = 4$
$C_{4}^{4} = 1$

Теперь подставим их в разложение:

${(3 x - \frac{1}{3})}^{4} = 1 \cdot (3 x)^{4} + 4 \cdot (3 x)^{3} \cdot (- \frac{1}{3}) +$

$+ 6 \cdot (3 x)^{2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot 3 x \cdot {(- \frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{4}$

Выполним вычисления:

${(3 x - \frac{1}{3})}^{4} = 81 x^{4} - 36 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{4}{9} x + \frac{1}{81}$

Ответ для задачи 10: ${(3 x - \frac{1}{3})}^{4} = 81 x^{4} - 36 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{4}{9} x + \frac{1}{81}$

Оцени решение