ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 109 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение корень (43+30 корень 2)) + корень (43-30 корень 2))

Упростить выражение:

$$\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 — 30\sqrt{2}} = x;$$

$$x^2 = (43 + 30\sqrt{2}) + 2\sqrt{(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2})} + (43 — 30\sqrt{2});$$

$$x^2 = 86 + 2\sqrt{(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2})};$$

$$x^2 = 86 + 2\sqrt{43^2 — (30\sqrt{2})^2};$$

$$x^2 = 86 + 2\sqrt{1849 — 900 \cdot 2};$$

$$x^2 = 86 + 2\sqrt{1849 — 1800};$$

$$x^2 = 86 + 2\sqrt{49};$$

$$x^2 = 86 + 2 \cdot 7;$$

$$x^2 = 86 + 14;$$

$$x^2 = 100;$$

$$x = \sqrt{100} = 10;$$

Ответ: $10$

Задание:

Упростить выражение:

$$\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 — 30\sqrt{2}} = x$$

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат

Для начала возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$$\left(\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 — 30\sqrt{2}}\right)^2 = x^2$$

Применим формулу для квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где:

• $a = \sqrt{43 + 30\sqrt{2}}$
• $b = \sqrt{43 — 30\sqrt{2}}$

Тогда выражение становится:

$$x^2 = (\sqrt{43 + 30\sqrt{2}})^2 + 2\cdot\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} \cdot \sqrt{43 — 30\sqrt{2}} + (\sqrt{43 — 30\sqrt{2}})^2$$

Шаг 2. Упрощаем квадраты и произведение корней

Квадраты чисел:

$$(\sqrt{43 + 30\sqrt{2}})^2 = 43 + 30\sqrt{2}$$

$$(\sqrt{43 — 30\sqrt{2}})^2 = 43 — 30\sqrt{2}$$

Теперь можем подставить эти выражения:

$$x^2 = (43 + 30\sqrt{2}) + 2 \cdot \sqrt{(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2})} + (43 — 30\sqrt{2})$$

Сложим константы:

$$43 + 43 = 86$$

Итак, у нас осталось:

$$x^2 = 86 + 2 \cdot \sqrt{(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2})}$$

Шаг 3. Упрощаем произведение под корнем

Теперь вычислим произведение $(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2})$. Это выражение имеет вид разности квадратов$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$, где:

$$a = 43, \quad b = 30\sqrt{2}$$

Применяем формулу разности квадратов:

$$(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2}) = 43^2 — (30\sqrt{2})^2$$

Вычислим эти значения:

$$43^2 = 1849$$

$$(30\sqrt{2})^2 = 30^2 \cdot 2 = 900 \cdot 2 = 1800$$

Таким образом, выражение под корнем становится:

$$(43 + 30\sqrt{2})(43 — 30\sqrt{2}) = 1849 — 1800 = 49$$

Шаг 4. Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим это значение в выражение для $x^2$:

$$x^2 = 86 + 2 \cdot \sqrt{49}$$

Вычитаем квадратный корень из 49:

$$\sqrt{49} = 7$$

Тогда:

$$x^2 = 86 + 2 \cdot 7 = 86 + 14 = 100$$

Шаг 5. Находим $x$

Теперь, чтобы найти $x$, извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \sqrt{100} = 10$$

Ответ:$$x = 10$$