ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1086 Алимов — Подробные Ответы

На окружности отмечено: 1) 7 точек; 2) 8 точек. Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Способы соединить отрезками четыре точки:

1. Из семи точек:
   $C_7^4 = \frac{7!}{(7-4)! \cdot 4!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$
   Ответ: 35 способов.
2. Из восьми точек:
   $C_8^4 = \frac{8!}{(8-4)! \cdot 4!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70;$
   Ответ: 70 способов.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для сочетаний, так как порядок выбора вершин четырёхугольника не имеет значения. В задаче нас просят посчитать количество различных выпуклых четырёхугольников, которые можно построить на окружности, выбирая 4 точки из $n$ точек на окружности. Важно отметить, что на окружности всегда можно выбрать 4 точки, чтобы образовать выпуклый четырёхугольник, так как все вершины находятся в выпуклой оболочке.

Формула для сочетаний

Формула для сочетаний $C_n^k$ — это количество способов выбрать $k$ объектов из $n$ без учета порядка. Она выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество точек,
• $k$ — количество точек, которые нужно выбрать (в нашем случае 4 для четырёхугольника).

Задача 1: 7 точек на окружности

Нам нужно выбрать 4 точки из 7, чтобы построить выпуклый четырёхугольник.

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Используем формулу для сочетаний $C_7^4$:

$$C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot (7 — 4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!$$

Подставляем это в формулу:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!}$$

Теперь сокращаем $4!$ в числителе и знаменателе:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!}$$

Далее, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, поэтому:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = \frac{210}{6} = 35$$

Ответ для задачи 1: 35 различных выпуклых четырёхугольников можно построить.

Задача 2: 8 точек на окружности

Теперь нам нужно выбрать 4 точки из 8, чтобы построить выпуклый четырёхугольник.

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Используем формулу для сочетаний $C_8^4$:

$$C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot (8 — 4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь раскроем факториалы:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!$$

Подставляем это в формулу:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!}$$

Теперь сокращаем $4!$ в числителе и знаменателе:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!}$$

Далее, $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$, поэтому:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24}$$

Шаг 3: Вычислим результат.

Теперь вычислим:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = \frac{1680}{24} = 70$$

Ответ для задачи 2: 70 различных выпуклых четырёхугольников можно построить.