ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 108 Алимов — Подробные Ответы

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна 13/27.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

Сумма первых трех членов равна 39, значит:

$$b_1 + b_2 + b_3 = 39;$$ $$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 39;$$ $$b_1 \cdot (1 + q + q^2) = 39;$$ $$b_1 = \frac{39}{1 + q + q^2};$$

Сумма обратных им величин равна $\frac{13}{27}$, значит:

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{13}{27};$$ $$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 \cdot q} + \frac{1}{b_1 \cdot q^2} = \frac{13}{27};$$ $$\frac{q^2 + q + 1}{b_1 \cdot q^2} = \frac{13}{27};$$ $$\frac{(q^2 + q + 1)^2}{39 \cdot q^2} = \frac{13}{27};$$ $$\left( \frac{q^2 + q + 1}{q} \right)^2 = \frac{13 \cdot 39}{27} = \frac{169}{9};$$ $$\frac{q^2 + q + 1}{q} = \sqrt{\frac{169}{9}} = \frac{13}{3};$$ $$3(q^2 + q + 1) = 13q;$$ $$3q^2 + 3q + 3 — 13q = 0;$$ $$3q^2 — 10q + 3 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \quad \text{тогда:}$$ $$q_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$$

Дана бесконечно убывающая прогрессия, значит:

$$q = \frac{1}{3};$$ $$b_1 = \frac{39}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = 39 : \left( \frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} \right) = 39 : \frac{13}{9} = 39 \cdot \frac{9}{13} = 3 \cdot 9 = 27;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{27}{1 — \frac{1}{3}} = 27 : \frac{2}{3} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40.5;$$

Ответ: $40.5$

Дано: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем прогрессии $q$.

1. Сумма первых трех членов прогрессии:

Из условия задачи известно, что сумма первых трех членов прогрессии равна 39. Три члена прогрессии выражаются как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Мы можем записать это в виде:

$$b_1 + b_2 + b_3 = 39.$$

Так как это геометрическая прогрессия, то второй и третий члены можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии $q$:

$$b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_3 = b_1 \cdot q^2.$$

Теперь подставим эти выражения в сумму:

$$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 39.$$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$$b_1 \cdot (1 + q + q^2) = 39.$$

Отсюда можно выразить $b_1$:

$$b_1 = \frac{39}{1 + q + q^2}.$$

2. Сумма обратных величин:

Теперь дано условие, что сумма обратных величин первых трех членов прогрессии равна $\frac{13}{27}$:

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{13}{27}.$$

Подставим выражения для $b_2$ и $b_3$:

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 \cdot q} + \frac{1}{b_1 \cdot q^2} = \frac{13}{27}.$$

Вынесем $\frac{1}{b_1}$ за скобки:

$$\frac{1}{b_1} \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} \right) = \frac{13}{27}.$$

Теперь подставим выражение для $b_1$, которое мы нашли ранее:

$$\frac{1}{\frac{39}{1 + q + q^2}} \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} \right) = \frac{13}{27}.$$

Перепишем это:

$$\frac{1 + q + q^2}{39} \cdot \left( \frac{q^2 + q + 1}{q^2} \right) = \frac{13}{27}.$$

Упростим левую часть:

$$\frac{(q^2 + q + 1)^2}{39 \cdot q^2} = \frac{13}{27}.$$

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части на $39 \cdot q^2$:

$$(q^2 + q + 1)^2 = \frac{13 \cdot 39 \cdot q^2}{27}.$$

Вычислим числитель справа:

$$13 \cdot 39 = 507, \quad \frac{507}{27} = \frac{169}{9}.$$

Получаем:

$$(q^2 + q + 1)^2 = \frac{169}{9} \cdot q^2.$$

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$$\frac{q^2 + q + 1}{q} = \frac{13}{3}.$$

3. Решение полученного уравнения:

Теперь у нас есть уравнение:

$$3(q^2 + q + 1) = 13q.$$

Раскроем скобки:

$$3q^2 + 3q + 3 = 13q.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3q^2 + 3q + 3 — 13q = 0 \quad \Rightarrow \quad 3q^2 — 10q + 3 = 0.$$

Это квадратное уравнение. Чтобы найти корни, используем формулу для дискриминанта:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64.$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$q = \frac{-(-10) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}.$$

Получаем два корня:

$$q_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3.$$

4. Выбор подходящего корня:

Мы знаем, что прогрессия бесконечно убывает, если модуль знаменателя $q$ меньше 1. Следовательно, выбираем $q = \frac{1}{3}$.

5. Найдем первый член прогрессии  $b_1$:

Теперь, зная $q = \frac{1}{3}$, подставим это значение в выражение для $b_1$:

$$b_1 = \frac{39}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = 39 \div \left( \frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} \right) = 39 \div \frac{13}{9}.$$

Умножим на обратную дробь:

$$b_1 = 39 \cdot \frac{9}{13} = 3 \cdot 9 = 27.$$

6. Сумма бесконечной прогрессии:

Теперь найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$, используя формулу для суммы геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$:

$$S = \frac{27}{1 — \frac{1}{3}} = 27 \div \frac{2}{3} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40.5.$$

Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $\boxed{40.5}$