ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1078 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. (A n/9 * P10-n)/P8, где n < =9;
2. P12/(A n/13 * P14-n), где n < =13.

1) $\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8}$, где $n \leq 9$;

$$\frac{A_9^n\cdot P_{10-n}}{P_8}=\frac{\frac{9!}{(9-n)!}\cdot (10-n)!}{8!}=\frac{9!\cdot (10-n)!}{(9-n)!\cdot 8!}=\frac{9\cdot 8!\cdot (10-n)\cdot (9-n)!}{(9-n)!\cdot 8!}=$$

$$\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8} = \frac{\frac{9!}{(9-n)!} \cdot (10-n)!}{8!} = \frac{9! \cdot (10-n)!}{(9-n)! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 8! \cdot (10-n) \cdot (9-n)!}{(9-n)! \cdot 8!} =$$ $$= 9 \cdot (10-n) = 90 — 9n;$$

2) $\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}$, где $n \leq 13$;

$$\frac{P_{12}}{A_{13}^n\cdot P_{14-n}}=\frac{12!}{\frac{13!}{(13-n)!}\cdot (14-n)!}=\frac{12!}{\frac{13\cdot 12!}{(13-n)!}\cdot (14-n)\cdot (13-n)!}=$$

$$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}} = \frac{12!}{\frac{13!}{(13-n)!} \cdot (14-n)!} = \frac{12!}{\frac{13 \cdot 12!}{(13-n)!} \cdot (14-n) \cdot (13-n)!} =$$ $$= \frac{1}{13 \cdot (14-n)} = \frac{1}{182 — 13n};$$

Задача 1: $\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8}$, где $n \leq 9$

Здесь мы имеем выражение, которое состоит из двух перестановок $A_9^n$ и $P_{10-n}$, а также одной перестановки $P_8$ в знаменателе. Нужно упростить это выражение.

Шаг 1: Раскроем формулы для перестановок.

Перестановка $A_9^n$ определяется как:

$$A_9^n = \frac{9!}{(9 — n)!}$$

Перестановка $P_{10-n}$ — это число способов расставить $10 — n$ объектов из 10:

$$P_{10-n} = (10 — n)!$$

Перестановка $P_8$ — это число способов расставить 8 объектов из 8:

$$P_8 = 8!$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное выражение.

Теперь подставим все выражения в исходное:

$$\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8} = \frac{\frac{9!}{(9-n)!} \cdot (10-n)!}{8!}$$

Шаг 3: Упростим выражение.

Приведем факториалы и сократим общие части:

$$= \frac{9! \cdot (10-n)!}{(9-n)! \cdot 8!}$$

Теперь мы видим, что $9! = 9 \cdot 8!$, и можно сократить $8!$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{9 \cdot 8! \cdot (10-n) \cdot (9-n)!}{(9-n)! \cdot 8!}$$

Далее, $8!$ в числителе и знаменателе сокращаются, и остается:

$$= 9 \cdot (10-n)$$

Шаг 4: Запишем финальный результат.

Теперь просто умножаем:

$$= 9 \cdot (10-n) = 90 — 9n$$

Ответ для задачи 1: $90 — 9n$.

Задача 2: $\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}$, где $n \leq 13$

В этом выражении мы имеем перестановки $P_{12}$, $A_{13}^n$, и $P_{14-n}$, и нужно упростить его.

Шаг 1: Раскроем формулы для перестановок.

Перестановка $P_{12}$ — это количество способов расставить 12 объектов:

$$P_{12} = 12!$$

Перестановка $A_{13}^n$ — это количество способов расставить $n$ объектов из 13:

$$A_{13}^n = \frac{13!}{(13 — n)!} = \frac{13!}{(13-n)!}$$

Перестановка $P_{14-n}$ — это количество способов расставить $14 — n$ объектов из 14:

$$P_{14-n} = (14 — n)!$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное.

Теперь подставим все выражения в исходное:

$$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}} = \frac{12!}{\frac{13!}{(13-n)!} \cdot (14-n)!}$$

Шаг 3: Упростим выражение.

В числителе у нас $12!$, а в знаменателе $\frac{13!}{(13-n)!} \cdot (14-n)!$. Преобразуем это, сократив $13!$ и упростив:

$$= \frac{12!}{\frac{13 \cdot 12!}{(13-n)!} \cdot (14-n) \cdot (13-n)!}$$

Теперь сократим $12!$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{1}{13 \cdot (14-n)}$$

Шаг 4: Запишем финальный результат.

Окончательно получаем:

$$= \frac{1}{13 \cdot (14 — n)} = \frac{1}{182 — 13n}$$

Ответ для задачи 2: $\frac{1}{182 — 13n}$.

Итоговые ответы:

1. $90 — 9n$
2. $\frac{1}{182 — 13n}$

Пояснение:

1. Задача 1: Мы преобразовали выражение с перестановками, применив стандартные формулы для перестановок, упростили числитель и знаменатель, сократив общие части, и получили конечный результат $90 — 9n$.
2. Задача 2: Аналогично, мы расписывали перестановки, подставляли их в выражение, приводили к общим знаменателям и сократили факториалы, что привело к ответу $\frac{1}{182 — 13n}$.

Каждый шаг основывается на правилах работы с перестановками и факториалами, что позволяет нам получать упрощенные результаты для таких выражений.