ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 107 Алимов — Подробные Ответы

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1. 1,10(209);
2. 0,108(32).

Представить в виде обыкновенной дроби:

1)

Дробь $1,10(209)$

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = 1,10,(209);$$

$$100x = 110,(209);$$

$$100\,000x = 110\,209,(209);$$

$$x = \frac{99\,900x}{99\,900} = \frac{100\,000x — 100x}{99\,900};$$

$$x = \frac{110\,209,(209) — 110,(209)}{99\,900} = \frac{110\,199}{99\,900} = 1\frac{10\,199}{99\,900}.$$

Ответ: $1\frac{10\,199}{99\,900}$

2)

Дробь $1,108(32)$

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = 1,108,(32);$$

$$1000x = 1\,108,(32);$$

$$100\,000 = 110\,832,(32);$$

$$x = \frac{99\,000x}{99\,000} = \frac{100\,000x — 1000x}{99\,000};$$

$$x = \frac{110\,832,(32) — 1\,108,(32)}{99\,000} = \frac{109\,724}{99\,000} = \frac{27\,431}{24\,750} = 1\frac{2\,681}{24\,750}.$$

Ответ: $1\frac{2\,681}{24\,750}$

1) Дробь $1,10(209)$:

Эта дробь имеет периодическое число после запятой:

$1,10(209)$, где «209» — это повторяющаяся группа цифр. Пусть $x$ будет равно данной дроби.

Запишем дробь как $x$:

$$x = 1,10,(209)$$

Это значит, что $x = 1,102092092092\ldots$, где группа «209» повторяется бесконечно.

Умножим на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков: Умножаем обе части на 100:

$$100x = 110,(209)$$

Теперь у нас есть:

$$100x = 110,209209209\ldots$$

Умножим на 100000, чтобы сдвинуть еще дальше: Умножаем обе части на 100000:

$$100000x = 110209,(209)$$

Теперь у нас:

$$100000x = 110209209209\ldots$$

Теперь найдем разницу между этими уравнениями: Вычитаем первое уравнение из второго:

$$100000x — 100x = 110209,(209) — 110,(209)$$

Получаем:

$$100000x — 100x = 110209 — 110 = 110199$$

Решим для $x$:

$$100000x — 100x = 110199$$

$$99000x = 110199$$

Теперь решаем для $x$:

$$x = \frac{110199}{99000}$$

Приведем к смешанной дроби: Разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{110199}{99000} = 1 + \frac{10299}{99000}$$

То есть:

$$x = 1\frac{10299}{99000}$$

Ответ: $1\frac{10299}{99000}$

2) Дробь $1,108(32)$:

Теперь рассмотрим дробь $1,108(32)$, где «32» — это повторяющаяся группа цифр.

Запишем дробь как $x$:

$$x = 1,108,(32)$$

Это означает, что $x = 1,10832323232\ldots$, где «32» — это повторяющаяся группа цифр.

Умножим на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков: Умножаем обе части на 1000:

$$1000x = 1108,(32)$$

Теперь у нас:

$$1000x = 1108,32323232\ldots$$

Умножим на 100000, чтобы сдвинуть еще дальше: Умножаем обе части на 100000:

$$100000x = 110832,(32)$$

Теперь у нас:

$$100000x = 110832323232\ldots$$

Теперь найдем разницу между этими уравнениями: Вычитаем первое уравнение из второго:

$$100000x — 1000x = 110832,(32) — 1108,(32)$$

Получаем:

$$100000x — 1000x = 110832 — 1108 = 109724$$

Решим для $x$:

$$100000x — 1000x = 109724$$

$$99000x = 109724$$

Теперь решаем для $x$:

$$x = \frac{109724}{99000}$$

Приведем к смешанной дроби: Разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{109724}{99000} = 1 + \frac{10724}{99000}$$

То есть:

$$x = 1\frac{10724}{99000}$$

Ответ: $1\frac{10724}{99000}$

Подведение итогов:

• Для дроби 1$1,10(209)$ мы получаем:

$$x = 1\frac{10299}{99000}$$

• Для дроби 1$1,108(32)$ мы получаем:

$$x = 1\frac{10724}{99000}$$

Таким образом, обе дроби представлены в виде обыкновенных дробей в смешанном виде, и решение каждого шага подробно изложено.