ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1067 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение относительно n:

1. pn/(pn+1) = 1/4;
2. (pn+2)/(pn+1) = 5;
3. pn/(pn-2) = 20;
4. (pn-1)/(pn+1) = 1/12.

1)

$$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{n!}{(n+1)\cdot n!}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{4};$$ $$n+1 = 4, \text{отсюда } n = 3;$$

Ответ: $n = 3$.

2)

$$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}=5;$$

$$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = 5;$$ $$\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=5;$$

$$\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = 5;$$ $$\frac{(n+2)\cdot (n+1)!}{(n+1)!}=5;$$

$$\frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} = 5;$$ $$n+2 = 5, \text{отсюда } n = 3;$$

Ответ: $n = 3$.

3)

$$\frac{P_n}{P_{n-2}}=20;$$

$$\frac{P_n}{P_{n-2}} = 20;$$ $$\frac{n!}{(n-2)!}=20;$$

$$\frac{n!}{(n-2)!} = 20;$$ $$\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{(n-2)!}=20;$$

$$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = 20;$$ $$n^2-n-20=0;$$

$$n^2 — n — 20 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 20=1+80=81,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;$$

Ответ: $n = 5$.

4)

$$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}}=\frac{1}{12};$$

$$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}} = \frac{1}{12};$$ $$\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{12};$$

$$\frac{(n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{12};$$ $$\frac{(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}=\frac{1}{12};$$

$$\frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{12};$$ $$\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{12};$$

$$\frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{12};$$ $$n^2+n-12=0;$$

$$n^2 + n — 12 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;$$

Ответ: $n = 3$.

1) $\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{4}$

Шаг 1: Перепишем выражение через факториалы

Сначала используем определение перестановки $P_n = n!$. Тогда выражение $\frac{P_n}{P_{n+1}}$ можно записать как:

$$\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!}$$

Шаг 2: Разложим факториал в знаменателе

Мы знаем, что:

$$(n+1)! = (n+1) \cdot n!$$

Таким образом, подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n+1) \cdot n!}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители

В числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $n!$, который можно сократить:

$$\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{n+1}$$

Теперь получаем:

$$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Решим уравнение

Теперь, решим уравнение $\frac{1}{n+1} = \frac{1}{4}$ для $n$:

$$n+1 = 4$$

Отсюда:

$$n = 3$$

Ответ: $n = 3$.

2) $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = 5$

Шаг 1: Перепишем выражение через факториалы

По аналогии с предыдущим примером, заменим перестановки на факториалы:

$$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = \frac{(n+2)!}{(n+1)!}$$

Шаг 2: Разложим факториалы

Заменим $(n+2)!$ на $(n+2) \cdot (n+1)!$:

$$\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители

Теперь можем сократить $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} = n+2$$

Теперь имеем:

$$n+2 = 5$$

Шаг 4: Решим уравнение

Решим $n+2 = 5$ для $n$:

$$n = 3$$

Ответ: $n = 3$.

3) $\frac{P_n}{P_{n-2}} = 20$

Шаг 1: Перепишем выражение через факториалы

Заменим перестановки на факториалы:

$$\frac{P_n}{P_{n-2}} = \frac{n!}{(n-2)!}$$

Шаг 2: Разложим факториалы

Раскроем факториал в числителе, как произведение чисел:

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители

Сократим $(n-2)!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n \cdot (n-1)$$

Теперь выражение становится:

$$n \cdot (n-1) = 20$$

Шаг 4: Разрешим квадратное уравнение

Раскроем скобки:

$$n^2 — n = 20$$

Приведем к стандартной форме квадратного уравнения:

$$n^2 — n — 20 = 0$$

Шаг 5: Найдем дискриминант

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Где $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 81$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-(-1) — 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 9}{2} = -4$$ $$n_2 = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, то принимаем $n = 5$.

Ответ: $n = 5$.

4) $\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}} = \frac{1}{12}$

Шаг 1: Перепишем выражение через факториалы

Заменим перестановки на факториалы:

$$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}} = \frac{(n-1)!}{(n+1)!}$$

Шаг 2: Разложим факториал в знаменателе

Мы знаем, что:

$$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители

Сократим $(n-1)!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{(n+1) \cdot n}$$

Теперь получаем:

$$\frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{12}$$

Шаг 4: Решим уравнение

Решаем $\frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{12}$. Это означает, что:

$$n^2 + n = 12$$

Приводим уравнение к стандартной форме:

$$n^2 + n — 12 = 0$$

Шаг 5: Найдем дискриминант

Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Где $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения

Теперь находим корни уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 49$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4$$ $$n_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, принимаем $n = 3$.

Ответ: $n = 3$.

Итоговые ответы:

1. $n = 3$
2. $n = 3$
3. $n = 5$
4. $n = 3$