ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1066 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (буквами n и m обозначены натуральные числа):

1. pn+1/pn;
2. (pn+2)/(pn+1).
3. m!(m+1)/(m+2)!;
4. (m+3)!/(m+1)!(m+2).

1. $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{(n + 1)!}{n!} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{n!} = n + 1$;
2. $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = \frac{(n + 2)!}{(n + 1)!} = \frac{(n + 2) \cdot (n + 1)!}{(n + 1)!} = n + 2$;
3. $\frac{m! \cdot (m + 1)}{(m + 2)!} = \frac{(m + 1)!}{(m + 2) \cdot (m + 1)!} = \frac{1}{m + 2}$;
4. $\frac{(m + 3)!}{(m + 1)! \cdot (m + 2)} = \frac{(m + 3) \cdot (m + 2)!}{(m + 2)!} = m + 3$.

1) $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{(n + 1)!}{n!}$

Шаг 1. Раскроем факториалы.
Мы знаем, что факториал $n!$ — это произведение всех чисел от 1 до $n$. Следовательно:

$$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$$

Шаг 2. Подставим это в выражение.
Подставляем в исходное выражение:

$$\frac{(n + 1)!}{n!} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{n!}$$

Шаг 3. Сократим одинаковые множители.
Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $n!$, который можно сократить:

$$\frac{(n + 1) \cdot n!}{n!} = n + 1$$

Ответ: $n + 1$.

2) $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = \frac{(n + 2)!}{(n + 1)!}$

Шаг 1. Раскроем факториалы.
Аналогично предыдущему примеру, $(n + 2)!$ можно записать как:

$$(n + 2)! = (n + 2) \cdot (n + 1)!$$

Шаг 2. Подставим это в выражение.
Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{(n + 2)!}{(n + 1)!} = \frac{(n + 2) \cdot (n + 1)!}{(n + 1)!}$$

Шаг 3. Сократим одинаковые множители.
Сократим $(n + 1)!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(n + 2) \cdot (n + 1)!}{(n + 1)!} = n + 2$$

Ответ: $n + 2$.

3) $\frac{m! \cdot (m + 1)}{(m + 2)!}$

Шаг 1. Раскроем факториалы.
$(m + 2)!$ можно записать как:

$$(m + 2)! = (m + 2) \cdot (m + 1)!$$

Шаг 2. Подставим это в выражение.
Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{m! \cdot (m + 1)}{(m + 2)!} = \frac{m! \cdot (m + 1)}{(m + 2) \cdot (m + 1)!}$$

Шаг 3. Преобразуем и упростим.
Мы видим, что в числителе есть $m!$, а в знаменателе — $(m + 1)! = (m + 1) \cdot m!$. Подставляем это:

$$\frac{m! \cdot (m + 1)}{(m + 2) \cdot (m + 1) \cdot m!}$$

Теперь можем сократить $m!$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(m + 1)}{(m + 2) \cdot (m + 1)} = \frac{1}{m + 2}$$

Ответ: $\frac{1}{m + 2}$.

4) $\frac{(m + 3)!}{(m + 1)! \cdot (m + 2)}$

Шаг 1. Раскроем факториалы.
$(m + 3)!$ можно записать как:

$$(m + 3)! = (m + 3) \cdot (m + 2)!$$

Шаг 2. Подставим это в выражение.
Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{(m + 3)!}{(m + 1)! \cdot (m + 2)} = \frac{(m + 3) \cdot (m + 2)!}{(m + 1)! \cdot (m + 2)}$$

Шаг 3. Упростим выражение.
Теперь, чтобы упростить, запишем $(m + 2)! = (m + 2) \cdot (m + 1)!$. Подставляем это в выражение:

$$\frac{(m + 3) \cdot (m + 2) \cdot (m + 1)!}{(m + 1)! \cdot (m + 2)}$$

Сокращаем одинаковые множители $(m + 1)!$ и $(m + 2)$:

$$\frac{m + 3}{1} = m + 3$$

Ответ: $m + 3$.

Итоговые ответы:

1. $n + 1$
2. $n + 2$
3. $\frac{1}{m + 2}$
4. $m + 3$