ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1063 Алимов — Подробные Ответы

Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

1. последней была цифра 3;
2. первой была цифра 4;
3. первой была цифра 5, а второй — цифра 1;
4. первой была цифра 2, а последней — цифра 4;
5. первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;
6. последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

Способы записать различные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр, с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, чтобы:

1. Последней была цифра 3:
   Остается четыре цифры и четыре свободных разряда;
   $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24;$
2. Первой была цифра 4:
   Остается четыре цифры и четыре свободных разряда;
   $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24;$
3. Первой была цифра 5, а второй — цифра 1:
   Остается три цифры и три свободных разряда;
   $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 = 6;$
4. Первой была цифра 2, а последней — цифра 4:
   Остается три цифры и три свободных разряда;
   $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 = 6;$
5. Первым были цифры 3 и 4 в любом порядке:
   Остается две цифры на первых 2 местах и три — на последних 3;
   $A = P_2 \cdot P_3 = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12;$
6. Последними были цифры 1 и 2 в любом порядке:
   Остается три цифры на первых 3 местах и две — на последних 2;
   $A = P_3 \cdot P_2 = 3! \cdot 2! = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12;$

1. Общая постановка задачи

Нам нужно найти количество различных способов составить пятизначные числа, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, с условием, что:

• Каждое число должно быть составлено из всех пяти цифр (без повторений).
• Заданы дополнительные ограничения для каждой части задачи (например, определённые цифры должны быть на определённых местах).

Для решения задачи будем использовать формулы для перестановок и размещений, в зависимости от того, как много цифр остаётся свободными для выбора на оставшихся местах.

2. Решение задачи по частям

1) Последней была цифра 3

Условие: последняя цифра числа — 3.

• Если последняя цифра — 3, то она фиксирована на последней позиции.
• Остаётся 4 места, которые нужно заполнить оставшимися цифрами (1, 2, 4, 5).
• Нам нужно найти количество способов разместить 4 оставшихся цифры на 4 свободных разрядах. Это задача на вычисление числа перестановок из 4 элементов.

Используем формулу для перестановок $P_n = n!$:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ответ: 24 способа.

2) Первой была цифра 4

Условие: первой цифрой числа должна быть 4.

• Если первая цифра — 4, то она фиксирована на первой позиции.
• Остаётся 4 места для оставшихся цифр (1, 2, 3, 5).
• Нам нужно найти количество способов разместить эти 4 оставшиеся цифры на 4 свободных разрядах. Это снова задача на вычисление числа перестановок из 4 элементов.

Используем формулу для перестановок $P_n = n!$:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ответ: 24 способа.

3) Первой была цифра 5, а второй — цифра 1

Условие: первой цифрой числа должна быть 5, а второй — 1.

• Первая цифра фиксирована и равна 5, вторая цифра фиксирована и равна 1.
• Остаётся 3 места для оставшихся цифр (2, 3, 4).
• Нам нужно найти количество способов разместить эти 3 оставшиеся цифры на 3 свободных разрядах.

Используем формулу для перестановок $P_n = n!$:

$$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Ответ: 6 способов.

4) Первой была цифра 2, а последней — цифра 4

Условие: первой цифрой числа должна быть 2, а последней — 4.

• Первая цифра фиксирована и равна 2, последняя цифра фиксирована и равна 4.
• Остаётся 3 места для оставшихся цифр (1, 3, 5).
• Нам нужно найти количество способов разместить эти 3 оставшиеся цифры на 3 свободных разрядах.

Используем формулу для перестановок $P_n = n!$:

$$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Ответ: 6 способов.

5) Первым были цифры 3 и 4 в любом порядке

Условие: первой цифрой должны быть 3 и 4 в любом порядке.

• Мы можем разместить цифры 3 и 4 на первых двух местах, причём порядок этих цифр может быть любым.
• После того как мы выбрали 2 цифры на первые два места (3 и 4), остаётся 3 свободных места для оставшихся цифр (1, 2, 5).
• Для первых двух мест есть 2! способов расположить 3 и 4.
• Для оставшихся трёх мест с цифрами 1, 2 и 5 есть 3! способов их расположить.

Итак, общее количество способов будет равно произведению этих двух перестановок:

$$A = P_2 \cdot P_3 = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$$

Ответ: 12 способов.

6) Последними были цифры 1 и 2 в любом порядке

Условие: последними цифрами должны быть 1 и 2 в любом порядке.

• Мы можем разместить цифры 1 и 2 на последних двух местах, причём порядок этих цифр может быть любым.
• После того как мы выбрали 2 цифры на последние два места (1 и 2), остаётся 3 свободных места для оставшихся цифр (3, 4, 5).
• Для последних двух мест есть 2! способов расположить 1 и 2.
• Для оставшихся трёх мест с цифрами 3, 4 и 5 есть 3! способов их расположить.

Итак, общее количество способов будет равно произведению этих двух перестановок:

$$A = P_3 \cdot P_2 = 3! \cdot 2! = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$$

Ответ: 12 способов.

3. Итог

1. Последней была цифра 3: 24 способа.
2. Первой была цифра 4: 24 способа.
3. Первой была цифра 5, а второй — цифра 1: 6 способов.
4. Первой была цифра 2, а последней — цифра 4: 6 способов.
5. Первым были цифры 3 и 4 в любом порядке: 12 способов.
6. Последними были цифры 1 и 2 в любом порядке: 12 способов.

4. Пояснение

Мы использовали формулы перестановок и размещений для нахождения числа способов, которыми можно расположить цифры на определённых позициях с учётом заданных ограничений. В каждом случае задачи мы фиксировали определённые цифры на определённых позициях и находили количество способов упорядочить оставшиеся цифры.