ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1058 Алимов — Подробные Ответы

Сколько нечётных: 1) трёхзначных; 2) четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза?

1) Всего нечетных трехзначных чисел:

• $N_1 = 9$ — вариантов выбора первой цифры (без нуля);
• $N_2 = 10$ — вариантов выбора второй цифры;
• $N_3 = \{1; 3; 5; 7; 9\} = 5$ — вариантов выбора третьей цифры;
• $A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$;
• Ответ: 450.

2) Всего нечетных четырехзначных чисел из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$:

• $N_1 = \{1; 3; 5\} = 3$ — варианта выбора четвертой цифры;
• $N_2 = 4$ — варианта выбора первой цифры (без нуля);
• $N_3 = 4$ — варианта выбора второй цифры;
• $N_4 = 3$ — вариантов выбора третьей цифры;
• $A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 = 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 144$;
• Ответ: 144.

Часть 1: Нечётные трёхзначные числа

Шаг 1: Размещение первой цифры

Первая цифра трёхзначного числа не может быть равна 0, так как это шестизначное число, и оно должно быть положительным. Таким образом, для первой цифры у нас есть 9 вариантов, поскольку первая цифра может быть любым числом от 1 до 9.

$$N_1 = 9$$

Шаг 2: Размещение второй цифры

Для второй цифры у нас нет ограничений, она может быть любой цифрой от 0 до 9. Таким образом, для второй цифры будет 10 вариантов.

$$N_2 = 10$$

Шаг 3: Размещение третьей цифры (нечётной цифры)

Так как число должно быть нечётным, то последняя цифра (на третьей позиции) должна быть нечётной. В нашем случае, нечётными цифрами являются: 1, 3, 5, 7, 9. То есть для третьей цифры у нас есть 5 вариантов, так как мы можем выбрать одну из 5 нечётных цифр.

$$N_3 = 5$$

Шаг 4: Применение принципа умножения

Общее количество возможных нечётных трёхзначных чисел — это произведение количества вариантов для каждой позиции:

$$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$$

Ответ для части 1: $\boxed{450}$

Часть 2: Нечётные четырёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$

Шаг 1: Размещение четвёртой цифры (нечётной цифры)

Последняя цифра четырёхзначного числа (на четвёртой позиции) должна быть нечётной, так как число должно быть нечётным. Нечётными цифрами являются 1, 3, 5. Таким образом, для четвёртой цифры есть 3 варианта, так как мы можем выбрать одну из 3 нечётных цифр.

$$N_1 = 3$$

Шаг 2: Размещение первой цифры

Первая цифра не может быть равна нулю, так как это четырёхзначное число. Кроме того, она не может быть той цифрой, которая выбрана для четвёртой позиции. Таким образом, для первой цифры остаётся 4 варианта, так как она может быть любым числом от 1 до 5, за исключением цифры, которая уже выбрана для четвёртой позиции.

$$N_2 = 4$$

Шаг 3: Размещение второй цифры

Для второй цифры не существует ограничений, за исключением того, что она не может совпадать с цифрами, уже выбранными для первой и четвёртой позиций. После выбора первой и четвёртой цифры остаётся 4 доступных цифры для второй позиции. Таким образом, для второй цифры есть 4 варианта.

$$N_3 = 4$$

Шаг 4: Размещение третьей цифры

Для третьей цифры остаётся 3 возможных цифры, так как она не может быть одинаковой с цифрами на первой, второй и четвёртой позициях. Таким образом, для третьей цифры есть 3 варианта.

$$N_4 = 3$$

Шаг 5: Применение принципа умножения

Общее количество возможных четырёхзначных нечётных чисел из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$ — это произведение количества вариантов для каждой позиции:

$$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 = 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 144$$

Ответ для части 2: $\boxed{144}$

Итоговое решение:

1. Для трёхзначных нечётных чисел существует 450 различных чисел.
2. Для четырёхзначных нечётных чисел из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$ существует 144 различных числа.$\boxed{144}$