ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 105 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\frac{a{b}^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}-1}$$

2)

$$\frac{b}{a-b}+\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}$$

1)

$$\frac{ab^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1} = \frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot (ab^{\frac{2}{2}} — 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1} = \frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1}$$

$$= b^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1) = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}+1} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$$

Ответ:

$b\sqrt{a} + \sqrt{b}$

.

2)

$$\frac{b}{a — b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

$$= \frac{b + b^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}+1}}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

$$= \frac{b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b}{a — b} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a — b}$$

Ответ:

$\frac{\sqrt{ab}}{a — b}$

.

1)

Начнем с рассмотрения выражения:

$$\frac{ab^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1}$$

Мы видим, что в числителе можно вынести общий множитель

$b^{\frac{1}{2}}$

:

$$\frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( ab^{\frac{2}{2}} — 1 \right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1}$$

Так как

$ab^{\frac{2}{2}} = ab$

, это выражение можно записать как:

$$\frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( ab — 1 \right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1}$$

Теперь, чтобы упростить дробь, применим формулу разности квадратов:

$$a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1 = \left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1 \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1 \right)$$

Подставляем эту формулу в выражение:

$$\frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1 \right) \left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1 \right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1}$$

Теперь мы можем сократить множитель

$\left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — 1 \right)$

в числителе и знаменателе:

$$= b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1 \right)$$

Раскроем скобки:

$$= b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}+1} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$$

Таким образом, ответ для первого задания:

$$b\sqrt{a} + \sqrt{b}$$

2)

Рассмотрим второе выражение:

$$\frac{b}{a — b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

Приводим к общему знаменателю. Для этого представим первый дробь в виде:

$$\frac{b}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

Теперь преобразуем вторую дробь так, чтобы у неё был такой же знаменатель:

$$\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

Теперь у нас есть общий знаменатель

$(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

, поэтому можем записать сумму дробей:

$$= \frac{b + b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right)}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

Теперь раскроем числитель:

$$= \frac{b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}+1}}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$$

Преобразуем числитель:

$$= \frac{b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b}{a — b}$$

Сокращаем

$b$

и получаем:

$$= \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a — b}$$

Таким образом, ответ для второго задания:

$$\frac{\sqrt{ab}}{a — b}$$

Ответы:

1. 
   $b\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 
2. 
   $\frac{\sqrt{ab}}{a — b}$