ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1039 Алимов — Подробные Ответы

1. у = х2 — 6х + 9, у = х2 + 4х + 4, у = 0;
2. у = х2 + 1, у = 3-х2;
3. у = х2, у = 2 корень 2х;
4. у = корень х, у = корень (4-3x), у = 0.

1) $y = x^2 — 6x + 9$, $y = x^2 + 4x + 4$, $y = 0$

Точки пересечения функций:

$$x^2 — 6x + 9 = x^2 + 4x + 4;$$ $$-6x — 4x = 4 — 9;$$ $$-10x = -5; \quad \text{отсюда } x = \frac{1}{2};$$

Первая функция:

$$x^2 — 6x + 9 > 0;$$ $$(x — 3)^2 > 0; \quad \text{отсюда } x \neq 3;$$

Вторая функция:

$$x^2 + 4x + 4 > 0;$$ $$(x + 2)^2 > 0; \quad \text{отсюда } x \neq -2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{0.5} (x^2 + 4x + 4) \, dx + \int_{0.5}^{3} (x^2 — 6x + 9) \, dx =$$ $$= \left( \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x \right) \bigg|_{-2}^{0.5} + \left( \frac{x^3}{3} — 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x \right) \bigg|_{0.5}^{3} =$$ $$= \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right) \bigg|_{-2}^{0.5} +$$ $$+ \left( \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 9x \right) \bigg|_{0.5}^{3} =$$ $$= \left( \frac{(0.5)^3}{3} + 2 \cdot (0.5)^2 + 4 \cdot 0.5 \right) — \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) \right) +$$ $$+ \left( \frac{3^3}{3} — 3 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 \right) — \left( \frac{(0.5)^3}{3} — 3 \cdot (0.5)^2 + 9 \cdot 0.5 \right) =$$ $$= \frac{1}{24} + \frac{1}{2} + 2 + \frac{8}{3} + 8 — 8 + 9 — 27 + 27 — \frac{1}{24} + \frac{3}{4} — \frac{9}{2} =$$ $$= 11 — \frac{8}{2} + \frac{8}{3} + \frac{3}{4} = \frac{132 — 48 + 32 + 9}{12} = \frac{125}{12} = 10 \frac{5}{12}.$$

Ответ: $10 \frac{5}{12}$.

2) $y = x^2 + 1$, $y = 3 — x^2$

Точки пересечения функций:

$$x^2 + 1 = 3 — x^2;$$ $$2x^2 = 2;$$ $$x^2 = 1; \quad \text{отсюда } x = \pm 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{1} \left( (3 — x^2) — (x^2 + 1) \right) dx =$$ $$= \left( 3x — \frac{x^3}{3} — \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \right) \bigg|_{-1}^{1} =$$ $$= \left( 2x — \frac{2x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} =$$ $$= 2 \cdot 1 — 2 \cdot \frac{1^3}{3} — 2 \cdot \frac{(-1)^3}{3} = 2 — \frac{2}{3} + 2 — \frac{2}{3} =$$ $$= 4 — \frac{4}{3} = 4 — 1 \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $2 \frac{2}{3}$.

3) $y = x^2$, $y = 2\sqrt{2x}$

Точки пересечения функций:

$$x^2 = 2\sqrt{2x};$$ $$x^4 = 4 \cdot 2x;$$ $$x^4 — 8x = 0;$$ $$x \cdot (x^3 — 8) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{2} \left( 2\sqrt{2x} — x^2 \right) dx =$$ $$= \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x)^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{2} =$$ $$= \left( \frac{2}{3} \sqrt{(2x)^3} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{2} =$$ $$= \frac{2}{3} \sqrt{(2 \cdot 2)^3} — \frac{2^3}{3} — \frac{2}{3} \sqrt{(2 \cdot 0)^3} — \frac{0^3}{3} =$$ $$= \frac{2}{3} \sqrt{4^3} — \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{64} — \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \cdot 8 — \frac{8}{3} = \frac{16 — 8}{3} = \frac{8}{3}.$$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{4 — 3x}$, $y = 0$

Точки пересечения функций:

$$\sqrt{x} = \sqrt{4 — 3x};$$ $$x = 4 — 3x;$$ $$4x = 4; \quad \text{отсюда } x = 1;$$

Первая функция:

$$\sqrt{x} > 0; \quad \text{отсюда } x \neq 0;$$

Вторая функция:

$$\sqrt{4 — 3x} > 0; \quad \text{отсюда } 4 — 3x \neq 0;$$ $$3x \neq 4; \quad \text{отсюда } x \neq \frac{4}{3};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int_{1}^{\frac{4}{3}} (4 — 3x)^{\frac{1}{2}} \, dx =$$ $$= \left( x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} + \left( -\frac{1}{3} \cdot (4 — 3x)^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} \right) \bigg|_{1}^{\frac{4}{3}} =$$ $$= \left( \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \right) \bigg|_{0}^{1} + \left( -\frac{2}{9} \sqrt{(4 — 3x)^3} \right) \bigg|_{1}^{\frac{4}{3}} =$$ $$= \frac{2}{3} \sqrt{1^3} — \frac{2}{3} \sqrt{0^3} + \left( -\frac{2}{9} \sqrt{\left( 4 — 3 \cdot \frac{4}{3} \right)^3} \right) — \left( -\frac{2}{9} \sqrt{(4 — 3 \cdot 1)^3} \right) =$$ $$= \frac{2}{3} — 0 — \frac{2}{9} \sqrt{0^3} + \frac{2}{9} \sqrt{1^3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6 + 2}{9} = \frac{8}{9}.$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

Задача 1: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y_1 = x^2 — 6x + 9$
• $y_2 = x^2 + 4x + 4$

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Приравниваем функции:

$$x^2 — 6x + 9 = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow -6x + 9 = 4x + 4 \Rightarrow -10x = -5 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

Одна точка пересечения: $x = \frac{1}{2}$

Шаг 2: Анализ функций

• $y_1 = (x — 3)^2 \ge 0$ — парабола с вершиной в $x = 3$
• $y_2 = (x + 2)^2 \ge 0$ — парабола с вершиной в $x = -2$

Обе ветви направлены вверх.

Шаг 3: Найдём границы области (по графику)

На графике площадь берётся между:

• Левой границей: $x = -2$
• Правой границей: $x = 3$
• Пересекаются в $x = \frac{1}{2}$

Шаг 4: Определим, кто сверху

• На интервале $x \in [-2; 0.5]$ сверху — $y_2 = x^2 + 4x + 4$
• На интервале $x \in [0.5; 3]$ сверху — $y_1 = x^2 — 6x + 9$

Шаг 5: Построим интеграл для площади

$$S = \int_{-2}^{0.5} (x^2 + 4x + 4)\, dx + \int_{0.5}^{3} (x^2 — 6x + 9)\, dx$$

Шаг 6: Вычислим каждый интеграл по частям

1-й интеграл:

$$\int_{-2}^{0.5} (x^2 + 4x + 4)\, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0.5}$$

Подставим:

• При $x = 0.5$:

$$\frac{(0.5)^3}{3} + 2(0.5)^2 + 4(0.5) = \frac{0.125}{3} + 0.5 + 2 = \frac{1}{24} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1}{24} + \frac{10}{4}$$

• При $x = -2$:

$$\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) = \frac{-8}{3} + 8 — 8 = \frac{-8}{3}$$

Разность:

$$\left( \frac{1}{24} + \frac{10}{4} \right) — \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{1}{24} + \frac{5}{2} + \frac{8}{3} = \frac{1}{24} + \frac{60}{24} + \frac{64}{24} = \frac{125}{24}$$

2-й интеграл:

$$\int_{0.5}^{3} (x^2 — 6x + 9)\, dx = \left[ \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 9x \right]_{0.5}^{3}$$

Подставим:

• При $x = 3$:

$$\frac{27}{3} — 3(9) + 9(3) = 9 — 27 + 27 = 9$$

• При $x = 0.5$:

$$\frac{(0.5)^3}{3} — 3(0.5)^2 + 9(0.5) = \frac{1}{24} — \frac{3}{4} + \frac{9}{2} = \frac{1}{24} — \frac{18}{24} + \frac{108}{24} = \frac{91}{24}$$

Разность:

$$9 — \frac{91}{24} = \frac{216 — 91}{24} = \frac{125}{24}$$

Шаг 7: Общая площадь

$$S = \frac{125}{24} + \frac{125}{24} = \frac{250}{24} = \frac{125}{12} = 10\frac{5}{12}$$

Ответ: $\boxed{10 \frac{5}{12}}$

Задача 2: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y_1 = x^2 + 1$ — парабола, ветви вверх
• $y_2 = 3 — x^2$ — перевёрнутая парабола, ветви вниз

Шаг 1: Найдём точки пересечения функций

Приравниваем:

$$x^2 + 1 = 3 — x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$$

Значит, границы области: $x \in [-1, 1]$

Шаг 2: Определим, какая функция сверху

Выберем $x = 0$:

• $y_1 = 0^2 + 1 = 1$
• $y_2 = 3 — 0^2 = 3$

Следовательно, на всём интервале:

• сверху: $y = 3 — x^2$
• снизу: $y = x^2 + 1$

Шаг 3: Составим интеграл площади

Площадь между двумя кривыми:

$$S = \int_{-1}^{1} \left[ (3 — x^2) — (x^2 + 1) \right] dx = \int_{-1}^{1} (2 — 2x^2) dx$$

Шаг 4: Упростим

Вынесем множитель:

$$S = 2 \int_{-1}^{1} (1 — x^2) dx$$

Шаг 5: Вычислим интеграл

$$\int_{-1}^{1} (1 — x^2) dx = \left[ x — \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 — \frac{1}{3} \right) — \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} — (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$$

Шаг 6: Подставим в исходное выражение

$$S = 2 \cdot \frac{4}{3} = \boxed{\frac{8}{3}}$$

На изображении в ответе указано $\boxed{2 \frac{2}{3}}$, но:

$$2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$

— это просто смешанная дробь вместо неправильной.

Ответ: $\boxed{2 \frac{2}{3}}$

Задача 3: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y_1 = x^2$ — парабола, ветви вверх
• $y_2 = 2\sqrt{2x}$ — корневая функция, домноженная на константу

Шаг 1: Найдём точки пересечения функций

Приравниваем:

$$x^2 = 2\sqrt{2x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4 = 4 \cdot 2x = 8x \Rightarrow x^4 — 8x = 0 \Rightarrow x(x^3 — 8) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$$

Точки пересечения: $x = 0$ и $x = 2$

Шаг 2: Определим, какая функция сверху

На интервале $(0;2)$, например, при $x = 1$:

• $y_1 = x^2 = 1$
• $y_2 = 2\sqrt{2x} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

Значит, на всём интервале сверху: $y_2 = 2\sqrt{2x}$, а снизу — $y_1 = x^2$

Шаг 3: Составим выражение для площади

$$S = \int_0^2 \left( 2\sqrt{2x} — x^2 \right) dx$$

Шаг 4: Упростим выражение

Запишем $\sqrt{2x}$ в виде степени:

$$\sqrt{2x} = (2x)^{1/2} \Rightarrow 2\sqrt{2x} = 2 \cdot (2x)^{1/2}$$

Таким образом:

$$S = \int_0^2 \left[ 2(2x)^{1/2} — x^2 \right] dx$$

Шаг 5: Интегрируем по частям

Разделим:

$$S = \int_0^2 2(2x)^{1/2} dx — \int_0^2 x^2 dx$$

Интеграл 1: $\int_0^2 2(2x)^{1/2} dx$

Преобразуем:

$$2(2x)^{1/2} = 2 \cdot (2)^{1/2} \cdot x^{1/2} = 2\sqrt{2} \cdot x^{1/2}$$

Интеграл:

$$\int_0^2 2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} dx = 2\sqrt{2} \cdot \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \bigg|_0^2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2}$$

Вычисляем $(2)^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Итак:

$$\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3} = \frac{16}{3}$$

Интеграл 2: $\int_0^2 x^2 dx$

$$= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3}$$

Шаг 6: Считаем полную площадь

$$S = \frac{16}{3} — \frac{8}{3} = \boxed{\frac{8}{3}} = 2 \frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{2 \frac{2}{3}}$

Задача 4: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y_1 = \sqrt{x}$
• $y_2 = \sqrt{4 — 3x}$

Шаг 1: Найдём точку пересечения графиков

Приравниваем:

$$\sqrt{x} = \sqrt{4 — 3x} \Rightarrow x = 4 — 3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$$

Точка пересечения: $x = 1$

Шаг 2: Определим область под интегралом

На графике видно, что нужно найти площадь между двумя функциями на отрезке от:

• $x = 0$ до $x = 1$ — между графиком и осью Ox
• $x = 1$ до $x = \frac{4}{3}$ — тоже между графиком и осью Ox

Таким образом, площадь состоит из двух частей:

• Под графиком $y_1 = \sqrt{x}$ от $x = 0$ до $x = 1$
• Под графиком $y_2 = \sqrt{4 — 3x}$ от $x = 1$ до $x = \frac{4}{3}$

Шаг 3: Выразим площадь через сумму интегралов

$$S = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^{4/3} \sqrt{4 — 3x} \, dx$$

Вычисление каждого интеграла

Интеграл 1: $\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 x^{1/2} dx$

$$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} x^{3/2} \bigg|_0^1 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

Интеграл 2: $\int_1^{4/3} \sqrt{4 — 3x} \, dx$

Заменим переменную:

$$u = 4 — 3x \Rightarrow du = -3 dx \Rightarrow dx = -\frac{1}{3} du$$

При $x = 1 \Rightarrow u = 1$, при $x = \frac{4}{3} \Rightarrow u = 0$

Теперь перепишем интеграл:

$$\int_1^{4/3} \sqrt{4 — 3x} \, dx = \int_1^0 \sqrt{u} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) du = \frac{1}{3} \int_0^1 \sqrt{u} \, du = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$$

Шаг 4: Сложим оба значения

$$S = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \boxed{\frac{8}{9}}$$

Ответ: $\boxed{\frac{8}{9}}$