ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1029 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Показать, что функция у = Сх coswх + С2 sinwх при любых значениях С1 и С2 является решением дифференциального уравнения у» + w2у = 0.

Краткий ответ:

Функция $y = C_1 \cdot \cos \omega x + C_2 \cdot \sin \omega x$ является решением уравнения $y» + \omega^2 \cdot y = 0$ .

Первая производная:

$y'(x) = C_1 \cdot (\cos \omega x)’ + C_2 \cdot (\sin \omega x)’;$ $y'(x) = C_1 \cdot \omega \cdot (-\sin \omega x) + C_2 \cdot \omega \cdot \cos \omega x;$ $y'(x) = C_2 \omega \cdot \cos \omega x — C_1 \omega \cdot \sin \omega x;$

Вторая производная:

$y»(x) = C_2 \omega \cdot (\cos \omega x)’ — C_1 \omega \cdot (\sin \omega x)’;$ $y»(x) = C_2 \omega \cdot \omega \cdot (-\sin \omega x) — C_1 \omega \cdot \omega \cdot \cos \omega x;$ $y»(x) = -\omega^2 \cdot (C_1 \cdot \cos \omega x + C_2 \cdot \sin \omega x);$

Таким образом:

$y» = -\omega^2 \cdot y,\quad\text{следовательно,}\quad y» + \omega^2 \cdot y = 0;$

Подробный ответ:

Шаг 1. Исходные данные и цель проверки

Рассмотрим функцию:

$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x),$

где $C_1$ , $C_2$ — произвольные постоянные, а $\omega$ — заданная постоянная величина.

Необходимо проверить, удовлетворяет ли эта функция дифференциальному уравнению второго порядка:

$y» + \omega^2 y = 0.$

Шаг 2. Найдём первую производную функции $y(x)$

Записываем явно производную по переменной $x$ :

$y'(x) = \frac{d}{dx}\left[C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)\right].$

Используя линейность производной, вычисляем отдельно производные каждого слагаемого:

$y'(x) = C_1 \frac{d}{dx}[\cos(\omega x)] + C_2 \frac{d}{dx}[\sin(\omega x)].$

Шаг 3. Дифференцируем отдельно каждую функцию:

Производная косинуса по аргументу:

$(\cos(\omega x))’ = -\sin(\omega x)\cdot\omega = -\omega\sin(\omega x).$

Производная синуса по аргументу:

$(\sin(\omega x))’ = \cos(\omega x)\cdot\omega = \omega\cos(\omega x).$

Подставим эти результаты обратно в выражение для $y'(x)$ :

$y'(x) = C_1(-\omega\sin(\omega x)) + C_2(\omega\cos(\omega x)).$

Перегруппируем и упростим запись:

$y'(x) = -C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x).$

Шаг 4. Найдём вторую производную $y»(x)$

Теперь найдём вторую производную, продифференцировав уже найденную первую производную:

$y»(x) = \frac{d}{dx}\left[-C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)\right].$

Опять же, дифференцируем отдельно каждое слагаемое:

$y»(x) = -C_1 \omega \frac{d}{dx}[\sin(\omega x)] + C_2 \omega \frac{d}{dx}[\cos(\omega x)].$

Шаг 5. Выполним дифференцирование каждого из слагаемых:

Производная синуса:

$(\sin(\omega x))’ = \omega \cos(\omega x).$

Производная косинуса:

$(\cos(\omega x))’ = -\omega \sin(\omega x).$

Подставим в выражение для второй производной:

$y»(x) = -C_1 \omega (\omega \cos(\omega x)) + C_2 \omega (-\omega \sin(\omega x)).$

Шаг 6. Упростим вторую производную

Вынесем общий множитель $\omega^2$ :

$y»(x) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) — C_2 \omega^2 \sin(\omega x).$

Вынесем $-\omega^2$ за скобки:

$y»(x) = -\omega^2(C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)).$

Заметим, что выражение в скобках совпадает с исходной функцией $y(x)$ :

$y»(x) = -\omega^2 y(x).$

Шаг 7. Проверка уравнения

Теперь подставим полученное выражение для $y»(x)$ в исходное уравнение:

$y» + \omega^2 y = 0.$

Подставляем:

$(-\omega^2 y) + \omega^2 y = 0.$

Сокращаем одинаковые слагаемые:

$0 = 0.$

Шаг 8. Анализ результата

Мы получили тождественно верное равенство $0=0$ . Это означает, что любая функция вида:

$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x),$

действительно является решением дифференциального уравнения:

$y» + \omega^2 y = 0.$

Заключительный шаг (Шаг 9). Итоговый вывод решения:

Функция вида:

$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$

доказанно удовлетворяет заданному уравнению, так как:

$y» = -\omega^2 y \quad \Rightarrow \quad y» + \omega^2 y = 0.$

Шаг 10. Финальный подробный вывод (Итог):

Мы детально доказали, что функция:

$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$

является общим решением уравнения:

$y» + \omega^2 y = 0,$

путём последовательного дифференцирования и подстановки, проверив каждое действие, и придя к идентичному нулю. Решение верно и полностью подтверждено.

Итоговое решение подтверждено:

$y» + \omega^2 y = 0.$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы