ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1028 Алимов — Подробные Ответы

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:

1. у’ = sin х, у (0) = 0;
2. у’ = 2 cos х, у (пи) = 1;
3. у’ = 3х2+4х-1, у (1) = -2;
4. у’ = 2 + 2х- Зх2, у (-1) = 2;
5. у’ = ех, у (1) = 1;
6. у’ = е^-х, у (0) = 2.

$y’ = \sin x$ и $y(0) = 0$;

Все первообразные функции:

$$y = -\cos x + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$0 = -\cos 0 + C;$$ $$0 = -1 + C,\quad\text{отсюда}\quad C = 1;$$

Ответ: $y = 1 — \cos x.$

$y’ = 2 \cos x$ и $y(\pi) = 1$;

Все первообразные функции:

$$y = 2 \sin x + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$1 = 2 \sin \pi + C;$$ $$1 = 2 \cdot 0 + C,\quad\text{отсюда}\quad C = 1;$$

Ответ: $y = 2 \sin x + 1.$

$y’ = 3x^2 + 4x — 1$ и $y(1) = -2$;

Все первообразные функции:

$$y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — 1 \cdot \frac{x^1}{1} = x^3 + 2x^2 — x + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$-2 = 1^3 + 2 \cdot 1^2 — 1 + C;$$ $$-2 = 1 + 2 — 1 + C;$$ $$-2 = 2 + C,\quad\text{отсюда}\quad C = -4;$$

Ответ: $y = x^3 + 2x^2 — x — 4.$

$y’ = 2 + 2x — 3x^2$ и $y(-1) = 2$;

Все первообразные функции:

$$y = 2 \cdot \frac{x^1}{1} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x + x^2 — x^3 + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$2 = 2 \cdot (-1) + (-1)^2 — (-1)^3 + C;$$ $$2 = -2 + 1 + 1 + C;$$ $$2 = 0 + C,\quad\text{отсюда}\quad C = 2;$$

Ответ: $y = 2x + x^2 — x^3 + 2.$

$y’ = e^x$ и $y(1) = 1$;

Все первообразные функции:

$$y = e^x + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$1 = e^1 + C;$$ $$1 = e + C,\quad\text{отсюда}\quad C = 1 — e;$$

Ответ: $y = e^x + 1 — e.$

$y’ = e^{-x}$ и $y(0) = 2$;

Все первообразные функции:

$$y = \frac{1}{-1} \cdot e^{-x} = -e^{-x} + C;$$

Удовлетворяющая условию:

$$2 = -e^0 + C;$$ $$2 = -1 + C,\quad\text{отсюда}\quad C = 3;$$

Ответ: $y = 3 — e^{-x}.$

Задача №1

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = \sin x, \quad y(0) = 0.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Найти первообразную от заданной производной:

$$y(x) = \int \sin x\,dx.$$

Шаг 2:

Используем известную формулу интеграла:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

Получаем семейство первообразных:

$$y(x) = -\cos x + C.$$

Шаг 3:

Используем начальное условие $y(0) = 0$:

$$y(0) = -\cos(0) + C = 0.$$

Так как $\cos(0) = 1$, то:

$$-1 + C = 0 \Rightarrow C = 1.$$

Итоговый ответ:

$$y = 1 — \cos x.$$

Задача №2

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = 2\cos x, \quad y(\pi) = 1.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Запишем первообразную:

$$y(x) = \int 2\cos x\,dx.$$

Шаг 2:

Вычислим интеграл:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x + C.$$

Таким образом:

$$y(x) = 2\sin x + C.$$

Шаг 3:

Используем начальное условие $y(\pi) = 1$:

$$y(\pi) = 2\sin(\pi) + C = 1.$$

Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:

$$0 + C = 1 \Rightarrow C = 1.$$

Итоговый ответ:

$$y = 2\sin x + 1.$$

Задача №3

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = 3x^2 + 4x — 1, \quad y(1) = -2.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Найдём первообразную:

$$y(x) = \int (3x^2 + 4x — 1)\,dx.$$

Шаг 2:

Вычислим интеграл пошагово:

• $\int 3x^2\,dx = x^3$,
• $\int 4x\,dx = 2x^2$,
• $\int (-1)\,dx = -x$.

Итого:

$$y(x) = x^3 + 2x^2 — x + C.$$

Шаг 3:

Используем начальное условие $y(1) = -2$:

$$1^3 + 2\cdot1^2 — 1 + C = -2.$$

Упростим выражение:

$$1 + 2 — 1 + C = -2 \Rightarrow 2 + C = -2.$$

Отсюда:

$$C = -4.$$

Итоговый ответ:

$$y = x^3 + 2x^2 — x — 4.$$

Задача №4

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = 2 + 2x — 3x^2, \quad y(-1) = 2.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Первообразная:

$$y(x) = \int (2 + 2x — 3x^2)\,dx.$$

Шаг 2:

Вычисляем интеграл пошагово:

• $\int 2\,dx = 2x$,
• $\int 2x\,dx = x^2$,
• $\int (-3x^2)\,dx = -x^3$.

Итого:

$$y(x) = 2x + x^2 — x^3 + C.$$

Шаг 3:

Подставляем начальное условие $y(-1) = 2$:

$$2\cdot(-1) + (-1)^2 — (-1)^3 + C = 2.$$

Упростим выражение:

$$-2 + 1 + 1 + C = 2 \Rightarrow 0 + C = 2.$$

Отсюда:

$$C = 2.$$

Итоговый ответ:

$$y = 2x + x^2 — x^3 + 2.$$

Задача №5

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = e^x, \quad y(1) = 1.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Первообразная экспоненциальной функции:

$$y(x) = \int e^x\,dx = e^x + C.$$

Шаг 2:

Используем условие $y(1) = 1$:

$$e^1 + C = 1 \Rightarrow e + C = 1.$$

Отсюда:

$$C = 1 — e.$$

Итоговый ответ:

$$y = e^x + 1 — e.$$

Задача №6

Условие задачи:

Найти функцию $y(x)$, если:

$$y’ = e^{-x}, \quad y(0) = 2.$$

Подробное решение:

Шаг 1:

Найдём интеграл экспоненциальной функции:

$$y(x) = \int e^{-x}\,dx.$$

Известно:

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.$$

Таким образом:

$$y(x) = -e^{-x} + C.$$

Шаг 2:

Подставляем условие $y(0) = 2$:

$$-e^{0} + C = 2 \Rightarrow -1 + C = 2.$$

Отсюда:

$$C = 3.$$

Итоговый ответ:

$$y = 3 — e^{-x}.$$

Итоговые ответы всех задач:

1. $y = 1 — \cos x$
2. $y = 2\sin x + 1$
3. $y = x^3 + 2x^2 — x — 4$
4. $y = 2x + x^2 — x^3 + 2$
5. $y = e^x + 1 — e$
6. $y = 3 — e^{-x}$