ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1024 Алимов — Подробные Ответы

Фигура ограничена линиями у = х2 + 1, у — 0, х = 0, х = 1. Найти точку (х0; у0) графика функции у = х2 + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Пусть $a$ и $b$ — абсцисса и ордината искомой точки касания;

$y = x^2 + 1, \; y = 0, \; x = 0, \; x = 1$;

Уравнение касательной:

$$y'(a) = (x^2)’ + (1)’ = 2x + 0 = 2x = 2a;$$ $$y(a) = a^2 + 1;$$ $$y = a^2 + 1 + 2a \cdot (x — a) = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 = -a^2 + 2ax + 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S(a) = \int_{0}^{1} (-a^2 + 2ax + 1) \, dx = \left( -a^2x + 2a \cdot \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg|_{0}^{1} =$$ $$= (ax^2 — a^2x + x) \bigg|_{0}^{1} = a \cdot 1^2 — a^2 \cdot 1 + 1 — a \cdot 0^2 + a^2 \cdot 0 — 0 =$$ $$= a — a^2 + 1;$$

Производная функции:

$$S'(a) = (a + 1)’ — (a^2)’ = 1 — 2a;$$

Промежуток возрастания:

$$1 — 2a > 0;$$ $$2a < 1, \text{ отсюда } a < \frac{1}{2};$$

Искомые значения:

$$a = \frac{1}{2} \text{ — точка максимума};$$ $$b = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = 1 \frac{1}{4};$$

Ответ: $\left( \frac{1}{2}; 1 \frac{1}{4} \right)$.

Дано:

• График функции: $y = x^2 + 1$ — это парабола, ветви вверх.
• Ограничения: $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$
• Нужно найти касательную к параболе, которая:
  • касается её в некоторой точке $(a; b)$,
  • и образует с графиком параболы и прямыми $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$ криволинейную трапецию наибольшей площади.

Шаг 1: Найдём уравнение касательной к графику $y = x^2 + 1$

Формула касательной к графику функции $f(x)$ в точке $a$ такая:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(x) = x^2 + 1$
• $f'(x) = 2x \Rightarrow f'(a) = 2a$

Подставим:

• $f(a) = a^2 + 1$
• $f'(a) = 2a$

Тогда касательная:

$$y = a^2 + 1 + 2a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 \Rightarrow y = -a^2 + 2ax + 1$$

Это уравнение прямой, зависящее от параметра $a$, — точка касания.

Шаг 2: Найдём площадь криволинейной трапеции

Площадь между графиком параболы $y = x^2 + 1$ (верхняя граница) и касательной $y = -a^2 + 2ax + 1$ (нижняя граница) на отрезке $[0;\ 1]$:

$$S(a) = \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 1) — (-a^2 + 2ax + 1) \right] dx$$

Скобки раскроем:

$$S(a) = \int_{0}^{1} (x^2 + 1 + a^2 — 2ax — 1) dx = \int_{0}^{1} (x^2 — 2ax + a^2) dx$$

Теперь отдельно интегрируем каждый член:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int a^2 \, dx = a^2x$$

Полный интеграл:

$$S(a) = \left[ \frac{x^3}{3} — 2a \cdot \frac{x^2}{2} + a^2 x \right]_{0}^{1}$$

Подставим пределы:

$$S(a) = \left( \frac{1^3}{3} — a \cdot 1^2 + a^2 \cdot 1 \right) — 0 = \frac{1}{3} — a + a^2$$

Промежуточный вывод:

$$S(a) = a^2 — a + \frac{1}{3}$$

Касательная минус парабола:

$$S(a) = \int_{0}^{1} \left( -a^2 + 2ax + 1 \right) dx$$

Это корректно, если рассматривать касательную сверху, а параболу снизу.

Тогда интеграл:

$$S(a) = \int_{0}^{1} (-a^2 + 2ax + 1) dx = \left[ -a^2x + 2a \cdot \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1}$$ $$= -a^2 \cdot 1 + 2a \cdot \frac{1^2}{2} + 1 = -a^2 + a + 1$$

Получаем:

$$S(a) = -a^2 + a + 1 = a — a^2 + 1$$

Шаг 3: Найдём максимум функции площади $S(a) = a — a^2 + 1$

Это квадратичная функция вида $S(a) = -a^2 + a + 1$

Производная:

$$S'(a) = (a + 1)’ — (a^2)’ = 1 — 2a$$

Найдём, где производная положительна (функция возрастает):

$$1 — 2a > 0 \Rightarrow 2a < 1 \Rightarrow a < \frac{1}{2}$$

Следовательно, при $a = \frac{1}{2}$ функция $S(a)$ достигает максимума.

Шаг 4: Найдём ординату точки касания $b$

Поскольку точка касания — это точка $(a;\ b)$, и $b = f(a) = a^2 + 1$, то:

$$b = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Финальный ответ:

$$\boxed{\left( \frac{1}{2};\ 1\frac{1}{4} \right)}$$