ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1023 Алимов — Подробные Ответы

1. параболой у — х2 + 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1);
2. гиперболой у = 1/x, прямой х = 1 и касательной к кривой y= 1/x в точке с абсциссой х=2.

Задача 1: Касательные к параболе $y = x^2 + 10$ через точку $(0; 1)$

Уравнение касательной:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(a, f(a))$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Для функции $y = x^2 + 10$:

$$f(x) = x^2 + 10$$ $$f'(x) = 2x$$

Точка касания $(a, f(a))$:

$$f(a) = a^2 + 10$$ $$f'(a) = 2a$$

Уравнение касательной:

$$y = a^2 + 10 + 2a(x — a)$$ $$y = a^2 + 10 + 2ax — 2a^2$$ $$y = -a^2 + 2ax + 10$$

Нахождение параметра $a$:

Касательная проходит через точку $(0; 1)$. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в уравнение касательной:

$$1 = -a^2 + 2a \cdot 0 + 10$$ $$1 = -a^2 + 10$$ $$-a^2 = -9$$ $$a^2 = 9$$ $$a = \pm 3$$

Первая касательная ($a = -3$):

$$y = -(-3)^2 + 2(-3)x + 10$$ $$y = -9 — 6x + 10$$ $$y = 1 — 6x$$

Проверка пересечения с параболой:

$$x^2 + 10 = 1 — 6x$$ $$x^2 + 6x + 9 = 0$$ $$(x + 3)^2 = 0$$ $$x = -3$$

Вторая касательная ($a = 3$):

$$y = -(3)^2 + 2(3)x + 10$$ $$y = -9 + 6x + 10$$ $$y = 1 + 6x$$

Проверка пересечения с параболой:

$$x^2 + 10 = 1 + 6x$$ $$x^2 — 6x + 9 = 0$$ $$(x — 3)^2 = 0$$ $$x = 3$$

Пересечение касательных:

$$1 — 6x = 1 + 6x$$ $$-6x = 6x$$ $$12x = 0$$ $$x = 0$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{3} \left( (x^2 + 10) — (1 + 6x) \right) dx + \int_{-3}^{0} \left( (x^2 + 10) — (1 — 6x) \right) dx$$ $$S = \int_{0}^{3} (x^2 — 6x + 9) dx + \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) dx$$

Вычисление интегралов:

$$\int_{0}^{3} (x^2 — 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3}$$ $$= \left( \frac{3^3}{3} — 3 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 \right) — \left( \frac{0^3}{3} — 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 \right)$$ $$= \left( 9 — 27 + 27 \right) — 0 = 9$$ $$\int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0}$$ $$= \left( \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 \right) — \left( \frac{(-3)^3}{3} + 3 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) \right)$$ $$= 0 — \left( -9 + 27 — 27 \right) = 9$$

Сумма площадей:

$$S = 9 + 9 = 18$$

Ответ:

$$\boxed{18}$$

Задача 2: Касательная к гиперболе $y = \frac{1}{x}$ через точку $x = 2$

Уравнение касательной:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(a, f(a))$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Для функции $y = \frac{1}{x}$:

$$f(x) = \frac{1}{x}$$ $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Точка касания $(2, f(2))$:

$$f(2) = \frac{1}{2}$$ $$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$$

Уравнение касательной:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{4}(x — 2)$$ $$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$$ $$y = 1 — \frac{1}{4}x$$

Точки пересечения функций:

Решаем уравнение:

$$\frac{1}{x} = 1 — \frac{x}{4}$$ $$1 = x — \frac{x^2}{4}$$ $$4 = 4x — x^2$$ $$x^2 — 4x + 4 = 0$$ $$(x — 2)^2 = 0$$ $$x = 2$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} — \left( 1 — \frac{x}{4} \right) \right) dx$$ $$S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} — 1 + \frac{x}{4} \right) dx$$ $$S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} — 1 + \frac{x}{4} \right) dx$$ $$S = \left[ \ln x — x + \frac{x^2}{8} \right]_{1}^{2}$$ $$= \left( \ln 2 — 2 + \frac{2^2}{8} \right) — \left( \ln 1 — 1 + \frac{1^2}{8} \right)$$ $$= \left( \ln 2 — 2 + \frac{4}{8} \right) — \left( 0 — 1 + \frac{1}{8} \right)$$ $$= \left( \ln 2 — 2 + \frac{1}{2} \right) — \left( -1 + \frac{1}{8} \right)$$ $$= \ln 2 — 2 + \frac{1}{2} + 1 — \frac{1}{8}$$ $$= \ln 2 — 1 + \frac{4}{8} — \frac{1}{8}$$ $$= \ln 2 — 1 + \frac{3}{8}$$ $$= \ln 2 — \frac{5}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{\ln 2 — \frac{5}{8}}$$

Задача 1: Касательные к параболе $y = x^2 + 10$ через точку $(0,\ 1)$

Шаг 1: Общее уравнение касательной к графику функции

Формула касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x = a$ (то есть в точке $(a,\ f(a))$) имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Шаг 2: Найдём производную функции

$$f(x) = x^2 + 10 \Rightarrow f'(x) = 2x$$

Шаг 3: Подставим в формулу касательной

Точка касания — произвольная точка $a$, тогда:

• $f(a) = a^2 + 10$
• $f'(a) = 2a$

Запишем уравнение касательной:

$$y = a^2 + 10 + 2a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^2 + 10 + 2ax — 2a^2 = -a^2 + 2ax + 10$$

Шаг 4: Найдём значение параметра $a$, при котором касательная проходит через точку $(0, 1)$

Подставим $x = 0$, $y = 1$ в уравнение касательной:

$$1 = -a^2 + 2a \cdot 0 + 10 = -a^2 + 10 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3$$

Шаг 5: Получим уравнения двух касательных

1. При $a = -3$:

$$y = -(-3)^2 + 2(-3)x + 10 = -9 — 6x + 10 = 1 — 6x$$

2. При $a = 3$:

$$y = -(3)^2 + 2(3)x + 10 = -9 + 6x + 10 = 1 + 6x$$

Шаг 6: Найдём координаты точек касания касательных с параболой

Первая касательная $y = 1 — 6x$:

Подставим в уравнение параболы:

$$x^2 + 10 = 1 — 6x \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3$$

Значит, точка касания: $(-3,\ y) \Rightarrow y = (-3)^2 + 10 = 9 + 10 = 19$

Вторая касательная $y = 1 + 6x$:

$$x^2 + 10 = 1 + 6x \Rightarrow x^2 — 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x — 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Значит, точка касания: $(3,\ 19)$

Шаг 7: Найдём точку пересечения двух касательных

Решим уравнение:

$$1 — 6x = 1 + 6x \Rightarrow -6x = 6x \Rightarrow 12x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1$$

Точка пересечения: $(0,\ 1)$ — подтверждение, что обе касательные проходят через неё.

Шаг 8: Вычислим площадь криволинейной трапеции

Площадь между параболой и двумя касательными на интервале $x \in [-3,\ 3]$:

$$S = \int_{-3}^{0} \left( (x^2 + 10) — (1 — 6x) \right) dx + \int_{0}^{3} \left( (x^2 + 10) — (1 + 6x) \right) dx$$

Упростим подынтегральные выражения:

• Левая часть:

$$(x^2 + 10) — (1 — 6x) = x^2 + 10 — 1 + 6x = x^2 + 6x + 9$$

• Правая часть:

$$(x^2 + 10) — (1 + 6x) = x^2 + 10 — 1 — 6x = x^2 — 6x + 9$$

Шаг 9: Интегрирование

Левая часть:

$$\int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0}$$

Подставим:

• В верхний предел (0): $0 + 0 + 0 = 0$
• В нижний предел (–3):

$$\frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 + 9(-3) = \frac{-27}{3} + 27 — 27 = -9 + 27 — 27 = -9$$

Значит:

$$\int_{-3}^{0} = 0 — (-9) = 9$$

Правая часть:

$$\int_{0}^{3} (x^2 — 6x + 9)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3}$$

Подставим:

• Верхний предел (3):

$$\frac{27}{3} — 27 + 27 = 9 — 27 + 27 = 9$$

• Нижний предел (0): $0$

Итог: $9$

Шаг 10: Финальный ответ

$$S = 9 + 9 = \boxed{18}$$

Задача 2: Касательная к гиперболе $y = \frac{1}{x}$ в точке $x = 2$

Шаг 1: Производная функции

$$f(x) = \frac{1}{x},\quad f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Уравнение касательной в точке $x = 2$

$$f(2) = \frac{1}{2},\quad f'(2) = -\frac{1}{4}$$

Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = \frac{1}{2} — \frac{1}{4}(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = 1 — \frac{1}{4}x$$

Шаг 3: Найдём точку пересечения касательной и гиперболы

Решим:

$$\frac{1}{x} = 1 — \frac{x}{4}$$

Умножим обе части на $4x$ (чтобы убрать дроби):

$$4 = 4x — x^2 \Rightarrow x^2 — 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x — 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Подтверждено: касательная касается гиперболы в точке $x = 2$

Шаг 4: Площадь криволинейной трапеции между графиками от $x = 1$ до $x = 2$

$$S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} — \left( 1 — \frac{x}{4} \right) \right) dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} — 1 + \frac{x}{4} \right) dx$$

Шаг 5: Интегрируем по частям

$$\int \left( \frac{1}{x} — 1 + \frac{x}{4} \right) dx = \ln x — x + \frac{x^2}{8}$$

Теперь подставим пределы от 1 до 2:

Верхний предел $x = 2$:

$$\ln 2 — 2 + \frac{4}{8} = \ln 2 — 2 + \frac{1}{2}$$

Нижний предел $x = 1$:

$$\ln 1 — 1 + \frac{1}{8} = 0 — 1 + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}$$

Шаг 6: Разность

$$S = \left( \ln 2 — 2 + \frac{1}{2} \right) — \left( -1 + \frac{1}{8} \right) = \ln 2 — 2 + \frac{1}{2} + 1 — \frac{1}{8}$$

Соберём:

$$\ln 2 — 1 — \frac{7}{8} = \ln 2 — \frac{15}{8} + \frac{1}{8} = \ln 2 — \frac{5}{8}$$

Финальный ответ:

$$\boxed{\ln 2 — \frac{5}{8}}$$