ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1019 Алимов — Подробные Ответы

1. графиком функции у = sin х, отрезком [0; пи] оси Ох и прямой, проходящей через точки (0; 0) и (пи/2;1);
2. графиками функций у = sin х, у = cos х и отрезком [0; пи/2] оси Ох.

1) $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ и точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$;

Уравнение прямой:

$$\begin{cases} 0 = k \cdot 0 + b & \Rightarrow & b = 0 \\ 1 = k \cdot \frac{\pi}{2} + b & \Rightarrow & 1 = k \cdot \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$k \frac{\pi}{2} = 1, \text{отсюда } k = \frac{2}{\pi};$$ $$y = \frac{2}{\pi} x;$$

Первая функция:

$$\sin x > 0;$$ $$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$$ $$0 < x < \pi;$$

Вторая функция:

$$\frac{2}{\pi} x > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = \left( \frac{2}{\pi} \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + (-\cos x) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =$$ $$= \frac{x^2}{\pi} \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + (-\cos x) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{\pi^2}{4} — \frac{0^2}{\pi} + (-\cos \pi) — \left(-\cos \frac{\pi}{2}\right) =$$ $$= \frac{\pi^2}{4} — \cos \pi + \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 1 + 0 = 1 + \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $1 + \frac{\pi}{4}$.

2) $y = \sin x$, $y = \cos x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

Точки пересечения функций:

$$\sin x = \cos x \quad | : \cos x;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{отсюда } x = \frac{\pi}{4};$$

Первая функция:

$$\sin x > 0;$$ $$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$$ $$0 < x < \pi;$$

Вторая функция:

$$\cos x > 0;$$ $$-\arccos 0 + 2\pi n < x < \arccos 0 + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$0 < x < \frac{\pi}{2};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = (-\cos x) \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} + (\sin x) \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =$$ $$= -\cos \frac{\pi}{4} — (-\cos 0) + \sin \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 — \sqrt{2};$$

Ответ: $2 — \sqrt{2}$.

1) $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ и точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$

Шаг 1: Найдем уравнение прямой через точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки $(0, 0)$ и $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$, используем формулу для уравнения прямой:

$$y = kx + b$$

где $k$ — угловой коэффициент (наклон), а $b$ — свободный член.

Подставляем координаты точки $(0, 0)$ в уравнение прямой:

$$0 = k \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 0$$

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

$$y = kx$$

Теперь подставим координаты точки $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$:

$$1 = k \cdot \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{2}{\pi}$$

Таким образом, уравнение прямой:

$$y = \frac{2}{\pi} x$$

Шаг 2: Определим области определения для каждой функции.

Первая функция $y = \sin x$:

• Функция $\sin x$ положительна на интервале $(0, \pi)$, так как на этом интервале синус принимает положительные значения.

Вторая функция $y = \frac{2}{\pi} x$:

• Прямая имеет вид $y = \frac{2}{\pi} x$, что означает, что $y > 0$ при $x > 0$.

Шаг 3: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции $y = \sin x$ и прямой $y = \frac{2}{\pi} x$, можно найти, вычислив два интеграла на интервале от 0 до $\pi$, при этом нужно разделить интервал на два: $[0, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Интеграл от прямой $y = \frac{2}{\pi} x$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$:

$$S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} x \, dx$$

Интегрируем:

$$S_1 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{2} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4\pi} = \frac{\pi}{4}$$

Интеграл от функции $y = \sin x$ на интервале $[\frac{\pi}{2}, \pi]$:

$$S_2 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx$$

Интегрируем:

$$S_2 = -\cos x \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi + \cos \frac{\pi}{2} = -(-1) + 0 = 1$$

Шаг 4: Суммируем площади.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = \frac{\pi}{4} + 1 = 1 + \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$S = 1 + \frac{\pi}{4}$$

2) $y = \sin x$, $y = \cos x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$

Шаг 1: Найдем точку пересечения функций.

Для нахождения точки пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ приравняем их:

$$\sin x = \cos x$$

Разделим обе стороны на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\tan x = 1$$

Решаем это уравнение:

$$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \text{отсюда } x = \frac{\pi}{4}$$

Таким образом, точка пересечения $x = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Рассмотрим области определения для каждой функции.

Первая функция $y = \sin x$:

• Функция $\sin x$ положительна на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Вторая функция $y = \cos x$:

• Функция $\cos x$ положительна на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Шаг 3: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$, на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, можно вычислить как сумму двух интегралов:

Интеграл от $y = \sin x$ на интервале $[0, \frac{\pi}{4}]$:

$$S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx$$

Интегрируем:

$$S_1 = -\cos x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos \frac{\pi}{4} + \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Интеграл от $y = \cos x$ на интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$:

$$S_2 = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

Интегрируем:

$$S_2 = \sin x \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{4} = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Суммируем площади.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 — \sqrt{2}$$

Ответ:

$$S = 2 — \sqrt{2}$$