ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1016 Алимов — Подробные Ответы

1. параболой у = х2 + Зх и осью Ох;
2. параболой у = х2 — 4х + 3 и осью Ох.

1) $y = x^2 + 3x$

Пересечения с осью $x$:

$$x^2 + 3x = 0;$$ $$(x + 3) \cdot x = 0;$$ $$x_1 = -3 \text{ и } x_2 = 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-3}^{0};$$ $$S = \frac{0^3}{3} + 3 \cdot \frac{0^2}{2} — \frac{(-3)^3}{3} — 3 \cdot \frac{(-3)^2}{2} = \frac{27}{3} — \frac{27}{2} = \frac{27}{6} = -4.5;$$

Ответ: $4.5$.

2) $y = x^2 — 4x + 3$

Пересечения с осью $x$:

$$x^2 — 4x + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \text{ и } x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{3} (x^2 — 4x + 3) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{1}^{3};$$ $$S = \frac{3^3}{3} — 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 — \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 = 9 — 18 + 9 — \frac{1}{3} + 2 — 3 =$$ $$= -1 — \frac{1}{3} = -1 \frac{1}{3};$$

Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

1) $y = x^2 + 3x$

Шаг 1: Найдем точки пересечения с осью $x$.

Точки пересечения с осью $x$ находятся, когда $y = 0$, то есть:

$$x^2 + 3x = 0$$

Решим это уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x + 3) = 0$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -3$$

Шаг 2: Площадь криволинейной трапеции.

Для нахождения площади криволинейной трапеции нужно вычислить интеграл функции $y = x^2 + 3x$ на интервале $[-3, 0]$. Площадь будет равна:

$$S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) \, dx$$

Разделим этот интеграл на два:

$$S = \int_{-3}^{0} x^2 \, dx + \int_{-3}^{0} 3x \, dx$$

Рассчитаем первый интеграл:

$$\int_{-3}^{0} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = 0 — \left(-\frac{27}{3}\right) = 9$$

Рассчитаем второй интеграл:

$$\int_{-3}^{0} 3x \, dx = 3 \int_{-3}^{0} x \, dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0} = 3 \left( \frac{0^2}{2} — \frac{(-3)^2}{2} \right) = 3 \left( 0 — \frac{9}{2} \right) = -\frac{27}{2}$$

Теперь сложим эти два значения:

$$S = 9 + \left(-\frac{27}{2}\right) = 9 — \frac{27}{2} = \frac{18}{2} — \frac{27}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5$$

Однако, площадь всегда положительна, поэтому берем абсолютное значение:

$$S = 4.5$$

Ответ:

$$S = 4.5$$

2) $y = x^2 — 4x + 3$

Шаг 1: Найдем точки пересечения с осью $x$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$, приравняем функцию $y = x^2 — 4x + 3$ к нулю:

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни уравнения вычислим по формуле:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Таким образом, точки пересечения с осью $x$ находятся в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Шаг 2: Площадь криволинейной трапеции.

Найдем площадь между графиками функции $y = x^2 — 4x + 3$ и осью $x$ на интервале $[1, 3]$. Для этого нужно вычислить интеграл:

$$S = \int_{1}^{3} (x^2 — 4x + 3) \, dx$$

Рассчитаем этот интеграл по частям:

Интегрируем $x^2$:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

Интегрируем $-4x$:

$$\int -4x \, dx = -2x^2$$

Интегрируем $3$:

$$\int 3 \, dx = 3x$$

Теперь подставим пределы интегрирования $1$ и $3$:

$$S = \left[ \frac{x^3}{3} — 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3}$$

Вычислим значения для верхнего и нижнего предела:

Для $x = 3$:

$$\frac{3^3}{3} — 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = \frac{27}{3} — 2 \cdot 9 + 9 = 9 — 18 + 9 = 0$$

Для $x = 1$:

$$\frac{1^3}{3} — 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} — 2 + 3 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$

Теперь вычислим разницу:

$$S = 0 — \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$$

Площадь всегда положительна, поэтому берем абсолютное значение:

$$S = \frac{4}{3}$$

Ответ:

$$S = 1 \frac{1}{3}$$