ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1015 Алимов — Подробные Ответы

1. графиками функций у = корень х, у-(х-2)2 и осью Ох;
2. графиками функций у = х3, у = 2х — х2 и осью Ох.

1) $y = \sqrt{x}$ и $y = (x-2)^2$;

Точки пересечения функций:

$$\sqrt{x} = (x-2)^2, \text{ отсюда } x = 1;$$

Первая функция:

$$\sqrt{x} > 0;$$ $$\sqrt{x} \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 0;$$

Вторая функция:

$$(x-2)^2 > 0;$$ $$x — 2 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int_{1}^{2} (x-2)^2 \, dx = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)_{0}^{1} + \left( \frac{(x-2)^3}{1 \cdot 3} \right)_{1}^{2} =$$ $$= \frac{2}{3} x \sqrt{x} \bigg|_{0}^{1} + \frac{1}{3} (x-2)^3 \bigg|_{1}^{2} =$$ $$= \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} — \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + \frac{1}{3} (2-2)^3 — \frac{1}{3} (1-2)^3 =$$ $$= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0^3 — \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1;$$

Ответ: $1$.

2) $y = x^3$ и $t = 2x — x^2$;

Точки пересечения функций:

$$x^3 = 2x — x^2;$$ $$x^3 + x^2 — 2x = 0;$$ $$x \cdot (x^2 + x — 2) = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(x+2) \cdot x \cdot (x-1) = 0;$$ $$x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1;$$

Первая функция:

$$x^3 > 0, \text{ отсюда } x > 0;$$

Вторая функция:

$$2x — x^2 > 0;$$ $$x \cdot (2 — x) > 0;$$ $$0 < x < 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} x^3 \, dx + \int_{1}^{2} (2x — x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} \bigg|_{0}^{1} + \left( 2 \cdot \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{1}^{2} =$$ $$= \frac{x^4}{4} \bigg|_{0}^{1} + \left( x^2 — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{1}^{2} =$$ $$= \frac{1^4}{4} — \frac{0^4}{4} + 2^2 — \frac{2^3}{3} — 1^2 + \frac{1^3}{3} =$$ $$= \frac{1}{4} + 4 — \frac{8}{3} — 1 + \frac{1}{3} = 3 — \frac{7}{3} + \frac{1}{4} = \frac{36 — 28 + 3}{12} = \frac{11}{12};$$

Ответ: $\frac{11}{12}$.

1) $y = \sqrt{x}$ и $y = (x-2)^2$

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = (x-2)^2$, приравняем их:

$$\sqrt{x} = (x — 2)^2$$

Для того чтобы решить это уравнение, возведем обе стороны в квадрат:

$$x = (x — 2)^4$$

Теперь решим это уравнение. Заметим, что при $x = 1$ оба выражения равны 1, а для других значений уравнение не имеет решений в пределах области определения.

Таким образом, точка пересечения на графиках этих функций будет при $x = 1$.

Шаг 2: Обозначим область определения функций.

Первая функция $y = \sqrt{x}$:

• Определена для $x \geq 0$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вторая функция $y = (x-2)^2$:

• Определена для всех $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Шаг 3: Площадь криволинейной трапеции.

Найдем площадь, заключенную между графиками этих функций на интервале $[0, 2]$. Для этого нужно вычислить два интеграла.

Интеграл для первой функции $y = \sqrt{x}$ на интервале $[0, 1]$:

$$S_1 = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx$$

Интегрируем:

$$S_1 = \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} \bigg|_{0}^{1}$$

Вычисляем пределы:

$$S_1 = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} — \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} = \frac{2}{3}$$

Интеграл для второй функции $y = (x-2)^2$ на интервале $[1, 2]$:

$$S_2 = \int_{1}^{2} (x — 2)^2 \, dx$$

Интегрируем:

$$S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 — 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} — 2x^2 + 4x \right]_{1}^{2}$$

Вычисляем пределы:

$$S_2 = \left( \frac{2^3}{3} — 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) — \left( \frac{1^3}{3} — 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 \right)$$ $$S_2 = \left( \frac{8}{3} — 8 + 8 \right) — \left( \frac{1}{3} — 2 + 4 \right)$$ $$S_2 = \frac{8}{3} — \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{8}{3} — \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Суммируем площади.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

Ответ:

$$S = 1$$

2) $y = x^3$ и $y = 2x — x^2$

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Приравняем функции $y = x^3$ и $y = 2x — x^2$:

$$x^3 = 2x — x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3 + x^2 — 2x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x^2 + x — 2) = 0$$

Это уравнение имеет два множителя: $x = 0$ и $x^2 + x — 2 = 0$. Разложим второй множитель:

$$x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1)$$

Таким образом, получаем три корня:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 1$$

Шаг 2: Обозначим область определения функций.

Первая функция $y = x^3$:

• Определена для всех $x$, так как куб любого числа существует.

Вторая функция $y = 2x — x^2$:

• Определена для всех $x$, так как это многочлен.

Шаг 3: Площадь криволинейной трапеции.

Найдем площадь, заключенную между графиками этих функций на интервале $[0, 1]$. Для этого нужно вычислить два интеграла.

Интеграл для первой функции $y = x^3$ на интервале $[0, 1]$:

$$S_1 = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} — 0 = \frac{1}{4}$$

Интеграл для второй функции $y = 2x — x^2$ на интервале $[1, 2]$:

$$S_2 = \int_{1}^{2} (2x — x^2) \, dx = \left[ x^2 — \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$

Вычисляем пределы:

$$S_2 = \left( 2^2 — \frac{2^3}{3} \right) — \left( 1^2 — \frac{1^3}{3} \right)$$ $$S_2 = \left( 4 — \frac{8}{3} \right) — \left( 1 — \frac{1}{3} \right) = \left( 4 — \frac{8}{3} \right) — \left( \frac{2}{3} \right)$$ $$S_2 = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} — \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Шаг 4: Суммируем площади.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$$

Ответ:

$$S = \frac{11}{12}$$