ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1013 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них.

а) $a = -1$, $b = 1$ и $y = x^2 + 4$;

$$\int_{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \left( \frac{x^3}{3} + 4x \right) \bigg|_{-1}^{1} =$$ $$= \frac{1^3}{3} + 4 \cdot 1 — \frac{(-1)^3}{3} — 4 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 4 = 8 \frac{2}{3};$$

Ответ: $8 \frac{2}{3}$.

б) $a = 0$, $b = 1$ и $y = \sqrt{x} + 1$;

$$\int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \, dx = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 1 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} x \sqrt{x} + x \right) \bigg|_{0}^{1} =$$ $$= \frac{2}{3} \cdot 1 \sqrt{1} + 1 — \frac{2}{3} \cdot 0 \sqrt{0} — 0 = \frac{2}{3} + 1 = 1 \frac{2}{3};$$

Ответ: $1 \frac{2}{3}$.

в) $a = 1$, $b = 4$ и $y = \frac{2}{x}$;

$$\int_{1}^{4} \left( 2 \cdot \frac{1}{x} \right) \, dx = 2 \ln |x| \bigg|_{1}^{4} = 2 \ln 4 — 2 \ln 1 = 2 \ln 4 — 2 \cdot 0 = 2 \ln 4;$$

Ответ: $2 \ln 4$.

а) $a = -1$, $b = 1$ и $y = x^2 + 4$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx$.

Шаг 1: Разделение интеграла

Интеграл можно разделить на два:

$$\int_{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} 4 \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование каждого компонента

Для $x^2$:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.$$

Для $4$:

$$\int 4 \, dx = 4x.$$

Теперь подставим пределы интегрирования $x = 1$ и $x = -1$ для каждого из слагаемых.

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования

Для $\int_{-1}^{1} x^2 \, dx$:

$$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} — \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} — \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$

Для $\int_{-1}^{1} 4 \, dx$:

$$\int_{-1}^{1} 4 \, dx = \left[ 4x \right]_{-1}^{1} = 4 \cdot 1 — 4 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8.$$

Шаг 4: Подсчитываем результат

Теперь сложим результаты:

$$\int_{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx = \frac{2}{3} + 8 = \frac{2}{3} + \frac{24}{3} = \frac{26}{3}.$$

Ответ:

$$8 \frac{2}{3}.$$

б) $a = 0$, $b = 1$ и $y = \sqrt{x} + 1$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \, dx$.

Шаг 1: Разделение интеграла

Интеграл можно разделить на два:

$$\int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \, dx = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование каждого компонента

Для $x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

Для $1$:

$$\int 1 \, dx = x.$$

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования

Для $\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx$:

$$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} — \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}.$$

Для $\int_{0}^{1} 1 \, dx$:

$$\int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 — 0 = 1.$$

Шаг 4: Подсчитываем результат

Теперь сложим результаты:

$$\int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \, dx = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}.$$

Ответ:

$$1 \frac{2}{3}.$$

в) $a = 1$, $b = 4$ и $y = \frac{2}{x}$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{1}^{4} \left( 2 \cdot \frac{1}{x} \right) \, dx$.

Шаг 1: Интегрирование

Мы можем сразу вычислить этот интеграл, используя стандартную формулу для интеграла $\frac{1}{x}$:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|.$$

Заменяем в нашем интеграле:

$$\int_{1}^{4} \left( 2 \cdot \frac{1}{x} \right) \, dx = 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln |x| \bigg|_{1}^{4}.$$

Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования

Теперь подставим пределы $x = 4$ и $x = 1$:

$$2 \ln |x| \bigg|_{1}^{4} = 2 \ln 4 — 2 \ln 1 = 2 \ln 4 — 2 \cdot 0 = 2 \ln 4.$$

Ответ:

$$2 \ln 4.$$

Итоговые ответы:

1. $8 \frac{2}{3}$
2. $1 \frac{2}{3}$
3. $2 \ln 4$