ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1011 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (-пи;пи) sin2xdx;
2. интеграл (0;пи/2) sinxcosxdx;
3. интеграл (0;пи/4) (cos2x-sin2x)dx;
4. интеграл (0;пи) (sin4x+cos4x)dx;
5. интеграл (0;3) x2 корень (x+1)dx;
6. интеграл (3;4) (x2-4x+5))dx/(x-2).

1)

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx = \left( \frac{x^1}{2} \cdot \frac{1}{1} — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x \right) \bigg|_{-\pi}^{\pi} =$$ $$= \left( \frac{x}{2} — \frac{\sin 2x}{4} \right) \bigg|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi}{2} — \frac{\sin 2\pi}{4} — \frac{-\pi}{2} + \frac{\sin(-2\pi)}{2} = \frac{\pi}{2} — 0 + \frac{\pi}{2} + 0 = \pi;$$

2)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{\cos 2x}{4} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =$$ $$= -\frac{\cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right)}{4} + \frac{\cos (2 \cdot 0)}{4} = -\frac{\cos \pi}{4} + \frac{\cos 0}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2};$$

3)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x — \sin^2 x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) — \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot 0) = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2} — \frac{\sin 0}{2} = \frac{1}{2} — \frac{0}{2} = \frac{1}{2};$$

4)

$$\int_{0}^{\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x \right) \, dx =$$ $$= \int_{0}^{\pi} \left( 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2x \right) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( 1 — \frac{1 — \cos 4x}{4} \right) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{4} + \frac{\cos 4x}{4} \right) \, dx =$$ $$= \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{x^1}{1} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x \right) \bigg|_{0}^{\pi} = \left( \frac{3x}{4} + \frac{\sin 4x}{16} \right) \bigg|_{0}^{\pi} =$$ $$= \frac{3\pi}{4} + \frac{\sin 4\pi}{16} — \frac{3 \cdot 0}{4} — \frac{\sin 0}{16} = \frac{3\pi}{4} + 0 — 0 — 0 = \frac{3\pi}{4};$$

5)

$$\int_{0}^{3} (x \cdot \sqrt{x+1}) \, dx = \int_{0}^{3} \left( (x+1-1) \cdot \sqrt{x+1} \right) \, dx =$$ $$= \int_{0}^{3} \left( (x+1)^{\frac{3}{2}} — (x+1)^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = \left( (x+1)^{\frac{3}{2}} : \frac{5}{2} — (x+1)^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} \right) \bigg|_{0}^{3} =$$ $$= \left( \frac{2}{5} \sqrt{(x+1)^5} — \frac{2}{3} \sqrt{(x+1)^3} \right) \bigg|_{0}^{3} =$$ $$= \frac{2}{5} \sqrt{(3+1)^5} — \frac{2}{3} \sqrt{(3+1)^3} — \frac{2}{5} \sqrt{(0+1)^5} + \frac{2}{3} \sqrt{(0+1)^3} =$$ $$= \frac{2}{5} \sqrt{1024} — \frac{2}{3} \sqrt{64} — \frac{2}{5} \sqrt{15} + \frac{2}{3} \sqrt{1^3} = \frac{2}{5} \cdot 32 — \frac{2}{3} \cdot 8 — \frac{2}{5} + \frac{2}{3} =$$ $$= \frac{192 — 80 — 6 + 10}{15} = \frac{116}{15} = 7 \frac{11}{15};$$

6)

$$\int_{3}^{4} \frac{x^2 — 4x + 5}{x-2} \, dx = \int_{3}^{4} \frac{(x^2 — 4x + 4) + 1}{x-2} \, dx = \int_{3}^{4} \frac{(x-2)^2 + 1}{x-2} \, dx =$$ $$= \int_{3}^{4} \left( x-2 + \frac{1}{x-2} \right) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} — 2 \cdot \frac{x^1}{1} + \frac{1}{1} \ln(x-2) \right) \bigg|_{3}^{4} =$$ $$= \left( \frac{x^2}{2} — 2x + \ln(x-2) \right) \bigg|_{3}^{4} = \frac{4^2}{2} — 2 \cdot 4 + \ln(4-2) — \frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 — \ln(3-2) =$$ $$= \frac{16}{2} — 8 + \ln 2 — \frac{9}{2} + 6 — \ln 1 = \frac{7}{2} — 2 + \ln 2 + \ln e^0 = 3.5 — 2 + \ln 2 + 0 =$$ $$= 0.5 + \ln 2 = \frac{3}{2} + \ln 2.$$

1) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, dx$.

Шаг 1: Использование формулы сокращённого умножения для $\sin^2 x$.

Используем известную формулу для упрощения $\sin^2 x$:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}.$$

Заменяем это в интеграле:

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx.$$

Шаг 2: Разделение интеграла.

Интеграл можно разделить на два:

$$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx — \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \, dx.$$

Шаг 3: Вычисление каждого из интегралов.

Интеграл от 1:

$$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-\pi}^{\pi} = \pi — (-\pi) = 2\pi.$$

Интеграл от $\cos 2x$:

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} — \frac{\sin(-2\pi)}{2} = 0.$$

Шаг 4: Подставляем результаты.

Теперь подставляем результаты в исходное выражение:

$$\frac{1}{2} \left( 2\pi — 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi.$$

Ответ:

$$\pi.$$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x \, dx$.

Шаг 1: Использование тригонометрической формулы.

Используем тригонометрическую формулу для произведения $\sin x \cdot \cos x$:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Тогда интеграл превращается в:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Теперь вычислим интеграл от $\sin 2x$:

$$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x.$$

Таким образом, наш интеграл становится:

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}.$$

Шаг 3: Вычисление интеграла.

Подставляем пределы интегрирования:

При $x = \frac{\pi}{2}$:

$$-\frac{1}{2} \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2} \cos \pi = \frac{1}{2}.$$

При $x = 0$:

$$-\frac{1}{2} \cos(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}.$$

Теперь вычисляем разницу:

$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}.$$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x — \sin^2 x) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x — \sin^2 x) \, dx$.

Шаг 1: Использование формулы для $\cos^2 x — \sin^2 x$.

Мы знаем, что:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x.$$

Тогда интеграл становится:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x — \sin^2 x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Интеграл от $\cos 2x$ равен:

$$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Теперь вычисляем интеграл:

$$\frac{1}{2} \sin 2x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}.$$

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования.

При $x = \frac{\pi}{4}$:

$$\frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$

При $x = 0$:

$$\frac{1}{2} \sin(0) = 0.$$

Теперь вычисляем разницу:

$$\frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}.$$

4) $\int_{0}^{\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$.

Шаг 1: Использование тригонометрических тождеств.

Для начала воспользуемся разложением $\sin^4 x + \cos^4 x$ через тождества:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x.$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то получаем:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x.$$

Теперь используем тождество для $\sin^2 x \cdot \cos^2 x$:

$$\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x.$$

Тогда интеграл становится:

$$\int_{0}^{\pi} \left( 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2x \right) \, dx.$$

Шаг 2: Преобразование интеграла.

Используем формулу для $\sin^2 2x$:

$$\sin^2 2x = \frac{1 — \cos 4x}{2}.$$

Тогда интеграл становится:

$$\int_{0}^{\pi} \left( 1 — \frac{1 — \cos 4x}{4} \right) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{4} + \frac{\cos 4x}{4} \right) \, dx.$$

Шаг 3: Интегрирование.

Разделим интеграл на два:

$$\int_{0}^{\pi} \frac{3}{4} \, dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4x}{4} \, dx.$$

Интеграл от 3/4:

$$\int_{0}^{\pi} \frac{3}{4} \, dx = \frac{3}{4} \cdot \pi = \frac{3\pi}{4}.$$

Интеграл от $\cos 4x$:

$$\int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4x}{4} \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin 4x}{4} \right]_{0}^{\pi} = 0.$$

Шаг 4: Ответ.

Теперь подставим результаты:

$$\frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4}.$$

5) $\int_{0}^{3} (x \cdot \sqrt{x+1}) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{3} (x \cdot \sqrt{x+1}) \, dx$.

Шаг 1: Разложение на два слагаемых.

Используем разложение:

$$x \cdot \sqrt{x+1} = (x+1-1) \cdot \sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{3}{2}} — (x+1)^{\frac{1}{2}}.$$

Теперь интегрируем:

$$\int_{0}^{3} \left( (x+1)^{\frac{3}{2}} — (x+1)^{\frac{1}{2}} \right) \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование каждого слагаемого.

Для $(x+1)^{\frac{3}{2}}$:

$$\int (x+1)^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}}.$$

Для $(x+1)^{\frac{1}{2}}$:

$$\int (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования.

Теперь подставим пределы $x = 3$ и $x = 0$ в первообразные:

Для первого слагаемого:

$$\frac{2}{5} \left( (3+1)^{\frac{5}{2}} — (0+1)^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{2}{5} \left( 32 — 1 \right) = \frac{2}{5} \cdot 31 = \frac{62}{5}.$$

Для второго слагаемого:

$$\frac{2}{3} \left( (3+1)^{\frac{3}{2}} — (0+1)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} \left( 8 — 1 \right) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3}.$$

Шаг 4: Ответ.

Теперь вычисляем разницу:

$$\frac{62}{5} — \frac{14}{3} = \frac{186}{15} — \frac{70}{15} = \frac{116}{15} = 7 \frac{11}{15}.$$

Ответ:

$$7 \frac{11}{15}.$$

6) $\int_{3}^{4} \frac{x^2 — 4x + 5}{x-2} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл $\int_{3}^{4} \frac{x^2 — 4x + 5}{x-2} \, dx$.

Шаг 1: Разложение на два слагаемых.

Распишем числитель:

$$x^2 — 4x + 5 = (x-2)^2 + 1.$$

Тогда интеграл преобразуется в:

$$\int_{3}^{4} \frac{(x-2)^2 + 1}{x-2} \, dx = \int_{3}^{4} \left( x — 2 + \frac{1}{x-2} \right) \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Теперь вычислим интеграл для каждого слагаемого:

Для $x — 2$:

$$\int (x — 2) \, dx = \frac{x^2}{2}.$$

Для $\frac{1}{x-2}$:

$$\int \frac{1}{x-2} \, dx = \ln |x-2|.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{x^2}{2} — 2x + \ln |x-2|.$$

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования.

Подставим пределы $x = 4$ и $x = 3$ в первообразную:

При $x = 4$:

$$F(4) = \frac{4^2}{2} — 2 \cdot 4 + \ln(4 — 2) = \frac{16}{2} — 8 + \ln 2 = 8 — 8 + \ln 2 = \ln 2.$$

При $x = 3$:

$$F(3) = \frac{3^2}{2} — 2 \cdot 3 + \ln(3 — 2) = \frac{9}{2} — 6 + \ln 1 = \frac{9}{2} — 6 = \frac{9}{2} — \frac{12}{2} = -\frac{3}{2}.$$

Шаг 4: Ответ.

Теперь вычисляем разницу:

$$F(4) — F(3) = \ln 2 — \left( -\frac{3}{2} \right) = \ln 2 + \frac{3}{2}.$$

Ответ:

$$\ln 2 + \frac{3}{2}.$$