ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 101 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. 
   $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{1}{x — \sqrt{2} — 1} \right)^{\sqrt{2} + 1}$ 
2. 
   $\left( \frac{a^{\sqrt{8}}}{b^{\sqrt{3}} — 1} \right)^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{a^{-1 — \sqrt{3}}}{b^{-2}}$ 

1. 
   $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{1}{x — \sqrt{2} — 1} \right)^{\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( x^{-(\sqrt{2} + 1)} \right)^{\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( x^{\sqrt{2} + 1} \right)^{\sqrt{2} + 1} =$ 

   $= x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{(\sqrt{2} + 1)^2} = x^{-2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} + 1} = x^{3}$ 

   Ответ: $x^3$ 

2. 
   $\left( \frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}} — 1} \right)^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{a^{-1 — \sqrt{3}}}{b^{-2}} = \frac{a^{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}}{b^{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}} \cdot \frac{b^{-(-2)}}{a^{-(-1 — \sqrt{3})}} = \frac{a^{3 + \sqrt{3}}}{b^{(\sqrt{3})^2 — 1}} \cdot \frac{b^2}{a^{1 + \sqrt{3}}} =$ 

   $= \frac{a^{3 + \sqrt{3}}}{a^{1 + \sqrt{3}}} \cdot \frac{b^2}{b^{3 — 1}} = a^{3 + \sqrt{3} — (1 + \sqrt{3})} \cdot b^{2 — (3 — 1)} = a^2 \cdot b^0 = a^2$ 

   Ответ: $a^2$ 

Задача 1:

$$x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{1}{x — \sqrt{2} — 1} \right)^{\sqrt{2} + 1}$$

Шаг 1: Преобразуем дробное выражение в степень

$$\frac{1}{x^{\sqrt{2} + 1}} = x^{-(\sqrt{2} + 1)}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left( x^{-(\sqrt{2} + 1)} \right)^{\sqrt{2} + 1}$$

Шаг 2: Раскрываем степень степени

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$\left( x^{-(\sqrt{2} + 1)} \right)^{\sqrt{2} + 1} = x^{-(\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)}$$

Рассчитаем произведение в показателе степени:

$$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$

$$x^{-(\sqrt{2} + 1)^2} = x^{-(3 + 2\sqrt{2})}$$

Шаг 3: Упрощаем произведение степеней

$$x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{-(3 + 2\sqrt{2})} = x^{-2\sqrt{2} — (3 + 2\sqrt{2})}$$

$$= x^{-2\sqrt{2} — 3 — 2\sqrt{2}}$$

$$= x^{-2\sqrt{2} — 2\sqrt{2} — 3} = x^{3}$$

Ответ:

$$x^3$$

Задача 2:

$$\left( \frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}} — 1} \right)^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{a^{-1 — \sqrt{3}}}{b^{-2}}$$

Шаг 1: Разделяем показатели степеней

$$\left( \frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}} — 1} \right)^{\sqrt{3} + 1}$$

Используем свойство:

$$\left( \frac{a^m}{b^n} \right)^p = \frac{a^{m \cdot p}}{b^{n \cdot p}}$$

$$= \frac{a^{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)}}{b^{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}}$$

Шаг 2: Вычисляем показатели степеней

$$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = 3 + \sqrt{3}$$

$$(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2$$

$$= \frac{a^{3 + \sqrt{3}}}{b^2}$$

Шаг 3: Упрощаем вторую дробь

$$\frac{a^{-1 — \sqrt{3}}}{b^{-2}} = a^{-1 — \sqrt{3}} \cdot b^{-(-2)}$$

$$= a^{-1 — \sqrt{3}} \cdot b^2$$

Шаг 4: Перемножаем полученные выражения

$$\frac{a^{3 + \sqrt{3}}}{b^2} \cdot a^{-1 — \sqrt{3}} \cdot b^2$$

Группируем показатели степеней отдельно для

$a$

и

$b$

:

$$a^{3 + \sqrt{3}} \cdot a^{-1 — \sqrt{3}} \cdot b^{-2} \cdot b^2$$

Шаг 5: Складываем показатели степеней

$$a^{(3 + \sqrt{3}) + (-1 — \sqrt{3})} \cdot b^{-2 + 2}$$

$$= a^{3 + \sqrt{3} — 1 — \sqrt{3}} \cdot b^0$$

$$= a^{3 — 1} \cdot b^0 = a^2 \cdot 1 = a^2$$

Ответ:

$$a^2$$