ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1005 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (1;e) 1dx/x;
2. интеграл (0;ln2) exdx;
3. интеграл (-пи;2пи) cosxdx;
4. интеграл (-2пи;пи) sinxdx;
5. интеграл (-2пи;пи) sin2xdx;
6. интеграл (-3пи;0) cos3xdx.

1. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \ln x \big|_{1}^{e} = \ln e — \ln 1 = \ln e^1 — \ln e^0 = 1 — 0 = 1$;
2. $\int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx = e^x \big|_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2} — e^0 = 2 — 1 = 1$;
3. $\int_{-\pi}^{2\pi} \cos x \, dx = \sin x \big|_{-\pi}^{2\pi} = \sin 2\pi — \sin(-\pi) = 0 + \sin \pi = 0$;
4. $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \big|_{-2\pi}^{\pi} = -\cos \pi + \cos(-2\pi) = -(-1) + 1 = 2$;
5. $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \big|_{-2\pi}^{\pi} = -\frac{1}{2} \cos 2\pi + \frac{1}{2} \cos(-4\pi) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$;
6. $\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x \big|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3} \sin 0 — \frac{1}{3} \sin(-9\pi) = \frac{1}{3} \cdot \sin \pi = 0$

1) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на интервале от $1$ до $e$, где $e$ — это основание натурального логарифма.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $\frac{1}{x}$ является натуральный логарифм $\ln x$, то есть:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C.$$

Так как $x$ положительно на интервале $[1, e]$, то $|x| = x$.

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную $\ln x$:

$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \ln x \bigg|_1^e = \ln e — \ln 1.$$

Зная, что $\ln e = 1$ и $\ln 1 = 0$, получаем:

$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1 — 0 = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

2) $\int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = e^x$ на интервале от $0$ до $\ln 2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $e^x$ является сама экспоненциальная функция $e^x$, то есть:

$$\int e^x \, dx = e^x + C.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx = e^x \bigg|_0^{\ln 2} = e^{\ln 2} — e^0.$$

Зная, что $e^{\ln 2} = 2$ и $e^0 = 1$, получаем:

$$\int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx = 2 — 1 = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

3) $\int_{-\pi}^{2\pi} \cos x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \cos x$ на интервале от $-\pi$ до $2\pi$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $\cos x$ является $\sin x$, то есть:

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-\pi}^{2\pi} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{-\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) — \sin(-\pi).$$

Зная, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(-\pi) = 0$, получаем:

$$\int_{-\pi}^{2\pi} \cos x \, dx = 0 — 0 = 0.$$

Ответ:

$$0.$$

4) $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \sin x$ на интервале от $-2\pi$ до $\pi$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $\sin x$ является $-\cos x$, то есть:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_{-2\pi}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(-2\pi).$$

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(-2\pi) = 1$, получаем:

$$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2.$$

Ответ:

$$2.$$

5) $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin 2x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \sin 2x$ на интервале от $-2\pi$ до $\pi$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $\sin 2x$ будет $-\frac{1}{2} \cos 2x$, так как:

$$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \bigg|_{-2\pi}^{\pi} = -\frac{1}{2} \cos 2\pi + \frac{1}{2} \cos(-4\pi).$$

Зная, что $\cos 2\pi = 1$ и $\cos(-4\pi) = 1$, получаем:

$$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$

Ответ:

$$0.$$

6) $\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \cos 3x$ на интервале от $-3\pi$ до $0$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразной функции $\cos 3x$ будет $\frac{1}{3} \sin 3x$, так как:

$$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x \bigg|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3} \sin(0) — \frac{1}{3} \sin(-9\pi).$$

Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\sin(-9\pi) = 0$, получаем:

$$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx = \frac{1}{3}(0) — \frac{1}{3}(0) = 0.$$

Ответ:

$$0.$$

Итоговые ответы:

1. $1$
2. $1$
3. $0$
4. $2$
5. $0$
6. $0$