ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1003 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = b, осью Ох и графиком функции у = f (х):

1. b = 2, f (х) = 5х — х2, 2 < = х < = 5;
2. b = 3, f (х) = х2 + 2х;
3. b=1, f(х) = ех-1;
4. b = 2, f(x) = 1- 1/x.

1) $b = 2$ и $f(x) = 5x — x^2$;

Первообразная функции:

$$F(x) = 5 \cdot \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$5x — x^2 > 0;$$ $$x \cdot (5 — x) > 0;$$ $$x \cdot (x — 5) < 0;$$ $$0 < x < 5;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{2}^{5} (5x — x^2) \, dx = F(5) — F(2);$$ $$S = 5 \cdot \frac{5^2}{2} — \frac{5^3}{3} — 5 \cdot \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3};$$ $$S = \frac{125}{2} — \frac{125}{3} — \frac{20}{2} + \frac{8}{3} = 52,5 — 39 + \frac{8}{3} = 13,5;$$

Ответ: $13,5$.

2) $b = 3$ и $f(x) = x^2 + 2x$;

Первообразная функции:

$$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + x^2 + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$x^2 + 2x > 0;$$ $$(x + 2) \cdot x > 0;$$ $$x < -2 \text{ или } x > 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) \, dx = F(3) — F(0);$$ $$S = \frac{3^3}{3} + 3^2 — \frac{0^3}{3} — 0^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18;$$

Ответ: $18$.

3) $b = 1$ и $f(x) = e^x — 1$;

Первообразная функции:

$$F(x) = e^x — \frac{x^1}{1} = e^x — x + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$e^x — 1 > 0;$$ $$e^x > 1;$$ $$e^x > e^0, \text{ отсюда } x > 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} (e^x — 1) \, dx = F(1) — F(0);$$ $$S = e^1 — 1 — e^0 + 0 = e — 1 — 1 = e — 2;$$

Ответ: $e — 2$.

4) $b = 2$ и $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$;

Первообразная функции:

$$F(x) = \frac{x^1}{1} — \ln x = x — \ln x + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$1 — \frac{1}{x} > 0;$$ $$x^2 — x > 0;$$ $$x \cdot (x — 1) > 0;$$ $$x < 0 \text{ или } x > 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{2} \left( 1 — \frac{1}{x} \right) \, dx = F(2) — F(1);$$ $$S = 2 — \ln 2 — 1 + \ln 1 = 1 — \ln 2 + \ln e^0 = 1 — \ln 2;$$

Ответ: $1 — \ln 2$.

1) $b = 2$ и $f(x) = 5x — x^2$;

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции, заключённой между графиком функции $f(x) = 5x — x^2$ и осью $x$ на интервале от $x = 2$ до $x = 5$.

1.1. Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5x — x^2$ используем правило для интегрирования степенных функций $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$$\int (5x — x^2) \, dx = \int 5x \, dx — \int x^2 \, dx$$

Для первой части:

$$\int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2}.$$

Для второй части:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 5x — x^2$ будет:

$$F(x) = \frac{5x^2}{2} — \frac{x^3}{3} + C.$$

1.2. Находим пересечения с осью $x$.

Чтобы найти пересечения графика функции с осью $x$, нужно решить неравенство:

$$5x — x^2 > 0.$$

Перепишем его в виде:

$$x(5 — x) > 0.$$

Решение этого неравенства осуществляется методом анализа знаков произведения двух выражений $x$ и $(5 — x)$. Получаем два корня: $x = 0$ и $x = 5$. Для того чтобы произведение $x(5 — x)$ было положительным, $x$ должно находиться в интервале от 0 до 5:

$$0 < x < 5.$$

Итак, график функции пересекает ось $x$ в пределах от $x = 0$ до $x = 5$.

1.3. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Теперь можем вычислить площадь криволинейной трапеции, используя определённый интеграл. Площадь $S$ равна разности значений первообразной функции в точках $x = 5$ и $x = 2$:

$$S = \int_{2}^{5} (5x — x^2) \, dx = F(5) — F(2).$$

1.4. Вычисляем $F(5)$ и $F(2)$.

Подставим $x = 5$ в первообразную:

$$F(5) = \frac{5 \cdot 5^2}{2} — \frac{5^3}{3} = \frac{125}{2} — \frac{125}{3}.$$

Подставим $x = 2$ в первообразную:

$$F(2) = \frac{5 \cdot 2^2}{2} — \frac{2^3}{3} = \frac{20}{2} — \frac{8}{3} = 10 — \frac{8}{3}.$$

Теперь вычислим площадь:

$$S = F(5) — F(2) = \left( \frac{125}{2} — \frac{125}{3} \right) — \left( 10 — \frac{8}{3} \right).$$

Преобразуем выражение:

$$S = \frac{125}{2} — \frac{125}{3} — 10 + \frac{8}{3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S = \frac{375}{6} — \frac{250}{6} — \frac{60}{6} + \frac{16}{6}.$$

Теперь сложим:

$$S = \frac{375 — 250 — 60 + 16}{6} = \frac{81}{6} = 13,5.$$

Ответ: $S = 13,5$.

2) $b = 3$ и $f(x) = x^2 + 2x$;

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции для функции $f(x) = x^2 + 2x$ на интервале от $x = 0$ до $x = 3$.

2.1. Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2 + 2x$, используем стандартное правило для интегрирования степенных функций:

$$\int (x^2 + 2x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2x \, dx.$$

Первая часть:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.$$

Вторая часть:

$$\int 2x \, dx = x^2.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^2 + 2x$ будет:

$$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + C.$$

2.2. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью $x$ на интервале от $x = 0$ до $x = 3$ вычисляется с помощью определённого интеграла:

$$S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) \, dx = F(3) — F(0).$$

2.3. Вычисляем $F(3)$ и $F(0)$.

Подставим $x = 3$ в первообразную:

$$F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 = \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18.$$

Подставим $x = 0$ в первообразную:

$$F(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 = 0.$$

Теперь вычисляем площадь:

$$S = F(3) — F(0) = 18 — 0 = 18.$$

Ответ: $S = 18$.

3) $b = 1$ и $f(x) = e^x — 1$;

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции для функции $f(x) = e^x — 1$ на интервале от $x = 0$ до $x = 1$.

3.1. Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = e^x — 1$ вычисляется с помощью стандартных интегралов:

$$\int e^x \, dx = e^x, \quad \int 1 \, dx = x.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = e^x — 1$ будет:

$$F(x) = e^x — x + C.$$

3.2. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью $x$ на интервале от $x = 0$ до $x = 1$ вычисляется с помощью определённого интеграла:

$$S = \int_{0}^{1} (e^x — 1) \, dx = F(1) — F(0).$$

3.3. Вычисляем $F(1)$ и $F(0)$.

Подставим $x = 1$ в первообразную:

$$F(1) = e^1 — 1 = e — 1.$$

Подставим $x = 0$ в первообразную:

$$F(0) = e^0 — 0 = 1 — 0 = 1.$$

Теперь вычисляем площадь:

$$S = F(1) — F(0) = (e — 1) — 1 = e — 2.$$

Ответ: $S = e — 2$.

4) $b = 2$ и $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$;

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции для функции $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$ на интервале от $x = 1$ до $x = 2$.

4.1. Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$ вычисляется следующим образом:

$$\int 1 \, dx = x, \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 1 — \frac{1}{x}$ будет:

$$F(x) = x — \ln x + C.$$

4.2. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью $x$ на интервале от $x = 1$ до $x = 2$ вычисляется с помощью определённого интеграла:

$$S = \int_{1}^{2} \left( 1 — \frac{1}{x} \right) \, dx = F(2) — F(1).$$

4.3. Вычисляем $F(2)$ и $F(1)$.

Подставим $x = 2$ в первообразную:

$$F(2) = 2 — \ln 2.$$

Подставим $x = 1$ в первообразную:

$$F(1) = 1 — \ln 1 = 1 — 0 = 1.$$

Теперь вычисляем площадь:

$$S = F(2) — F(1) = (2 — \ln 2) — 1 = 1 — \ln 2.$$

Ответ: $S = 1 — \ln 2$.

Итоговые ответы:

1. $S = 13,5$
2. $S = 18$
3. $S = e — 2$
4. $S = 1 — \ln 2$