ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1002 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b, осью Ох и графиком функции у = f(х):

1. 0 = 1, b = 8, f(x) = корень 3 степени х;
2. а = 4, b = 9, f(x) = корень x.

$a = 1$, $b = 8$ и $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$;

Первообразная функции:

$$F(x) = x^{\frac{4}{3}} : \frac{4}{3} = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} + C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx = F(8) — F(1);$$ $$S = \frac{3}{4} \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{8} — \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{1} = \frac{24}{4} \cdot 2 — \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11,25;$$

Ответ: $11,25$.

$a = 4$, $b = 9$ и $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$;

Первообразная функции:

$$F(x) = x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx = F(9) — F(4);$$ $$S = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} — \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} = \frac{18}{3} \cdot 3 — \frac{8}{3} \cdot 2 = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3};$$

Ответ: $12 \frac{2}{3}$.

1) $a = 1$, $b = 8$ и $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$;

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, заключённой между графиком функции $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и осью $x$, на интервале от $a = 1$ до $b = 8$.

1.1. Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ используем стандартное правило для интегрирования степенных функций. Если $f(x) = x^n$, то её первообразная будет:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \neq -1.$$

В нашем случае $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$, то есть $n = \frac{1}{3}$. Первообразная функции будет:

$$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} + C.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ есть:

$$F(x) = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} + C.$$

1.2. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью $x$ на интервале $[1, 8]$ вычисляется с помощью определённого интеграла. Площадь $S$ равна разности значений первообразной функции в точках $x = 8$ и $x = 1$:

$$S = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} \, dx = F(8) — F(1).$$

Теперь вычислим $F(8)$ и $F(1)$.

1.3. Вычисляем $F(8)$ и $F(1)$.

Подставляем $x = 8$ в первообразную $F(x) = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}}$:

$$F(8) = \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}.$$

Чтобы вычислить $8^{\frac{4}{3}}$, заметим, что $8 = 2^3$, поэтому:

$$8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16.$$

Подставляем это в выражение для $F(8)$:

$$F(8) = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12.$$

Теперь подставляем $x = 1$ в первообразную $F(x) = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}}$:

$$F(1) = \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}.$$

1.4. Вычисляем площадь.

Теперь можем вычислить площадь:

$$S = F(8) — F(1) = 12 — \frac{3}{4} = \frac{48}{4} — \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11,25.$$

Ответ:

$$S = 11,25.$$

2) $a = 4$, $b = 9$ и $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$;

Теперь найдём площадь криволинейной трапеции для функции $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, на интервале от $a = 4$ до $b = 9$.

2.1. Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ используем тот же метод. Первообразная для функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ будет:

$$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ есть:

$$F(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C.$$

2.2. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью $x$ на интервале $[4, 9]$ вычисляется с помощью определённого интеграла. Площадь $S$ равна разности значений первообразной функции в точках $x = 9$ и $x = 4$:

$$S = \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx = F(9) — F(4).$$

Теперь вычислим $F(9)$ и $F(4)$.

2.3. Вычисляем $F(9)$ и $F(4)$.

Подставляем $x = 9$ в первообразную $F(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$:

$$F(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}.$$

Здесь $9^{\frac{3}{2}}$ можно вычислить как:

$$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27.$$

Подставляем это в выражение для $F(9)$:

$$F(9) = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18.$$

Теперь подставляем $x = 4$ в первообразную $F(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$:

$$F(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}.$$

Вычислим $4^{\frac{3}{2}}$:

$$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8.$$

Подставляем это в выражение для $F(4)$:

$$F(4) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}.$$

2.4. Вычисляем площадь.

Теперь можем вычислить площадь:

$$S = F(9) — F(4) = 18 — \frac{16}{3} = \frac{54}{3} — \frac{16}{3} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3}.$$

Ответ:

$$S = 12 \frac{2}{3}.$$

Итоговые ответы:

1. $11,25$
2. $12 \frac{2}{3}$