ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 100 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а:

1. 
   $\frac{a^{\frac{1}{2}} a^{-0.5}}{a^{\frac{1}{3}}}$ 
2. 
   $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$ 
3. 
   $(a^{2.5})^2 \sqrt[5]{a}$ 
4. 
   $\sqrt[7]{a^2} \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$ 

1. 
   $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2} — \frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^1}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{1 — \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$ 

   Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$ 

2. 
   $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3} — \frac{1}{3}} = a^{-3} \cdot a^{\frac{6}{3}} = a^{-3} \cdot a^2 = a^{-3 + 2} = a^{-1}$ 

   Ответ: $a^{-1}$ 

3. 
   $(a^{2.5})^2 \cdot \sqrt[5]{a} = a^{2.5 \cdot 2} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^5 \cdot a^{0.2} = a^{5 + 0.2} = a^{5.2}$ 

   Ответ: $a^{5.2}$ 

4. 
   $\sqrt[7]{a^2} \cdot \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2 = a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{28}{3}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{28}{3}} = a^{\frac{6 + 196}{21}} = a^{\frac{202}{21}}$ 

   Ответ: $a^{\frac{202}{21}}$ 

1)

$\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}}$

• Первоначально, обратим внимание, что
  $a^{-0.5}$ 

  — это то же самое, что $a^{-\frac{1}{2}}$ 

  , и множитель $a^{\frac{1}{2}}$ 

  и $a^{-\frac{1}{2}}$ 

  можно сложить: 

  $$\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}}$$ 

• Теперь в числителе у нас
  $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}$ 

  , а по правилам умножения степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. То есть: 

  $$a^{\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^{\frac{1}{2} — \frac{1}{2}} = a^0 = 1$$ 

• Получаем выражение: 

  $$\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}$$ 

• Так как деление на степень эквивалентно умножению на её отрицательную степень, то: 

  $$1 \cdot a^{-\frac{2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$$ 

• Однако
  $a^1$ 

  можно записать как $a^{\frac{3}{3}}$ 

  , поэтому: 

  $$a^{\frac{1}{3}}$$ 

Ответ:

$a^{\frac{1}{3}}$

2)

$\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

• В числителе выражение
  $a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}$ 

  . При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: 

  $$a^{-3 + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{9}{3} + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$$ 

• Получаем дробь: 

  $$\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$$ 

• Теперь, при делении степеней с одинаковыми основаниями, степени вычитаются: 

  $$a^{-\frac{2}{3} — \frac{1}{3}} = a^{-\frac{3}{3}} = a^{-1}$$ 

Ответ:

$a^{-1}$

3)

$(a^{2.5})^2 \cdot \sqrt[5]{a}$

• Сначала упростим каждое из множителей:
  • 
    $(a^{2.5})^2$ 

    можно упростить с помощью свойства степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ 

    : 

    $$(a^{2.5})^2 = a^{2.5 \cdot 2} = a^5$$ 

  • 
    $\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$ 
• Теперь умножим эти два выражения: 

  $$a^5 \cdot a^{\frac{1}{5}}$$ 

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: 

  $$a^{5 + \frac{1}{5}} = a^{5.0 + 0.2} = a^{5.2}$$ 

Ответ:

$a^{5.2}$

4)

$\sqrt[7]{a^2} \cdot \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$

• Упростим каждое из выражений:
  • 
    $\sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}}$ 
  • 
    $\left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$ 

    по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ 

    равно: 

    $$\left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2 = a^{\frac{14}{3} \cdot 2} = a^{\frac{28}{3}}$$ 

• Теперь умножим эти два выражения: 

  $$a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{28}{3}}$$ 

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 3 — это 21. Приведем обе дроби к знаменателю 21: 

  $$a^{\frac{2}{7}} = a^{\frac{6}{21}}, \quad a^{\frac{28}{3}} = a^{\frac{196}{21}}$$ 

• Теперь сложим степени: 

  $$a^{\frac{6}{21} + \frac{196}{21}} = a^{\frac{202}{21}}$$ 

Ответ:

$a^{\frac{202}{21}}$

Итоговые ответы:

1. 
   $a^{\frac{1}{3}}$ 
2. 
   $a^{-1}$ 
3. 
   $a^{5.2}$ 
4. 
   $a^{\frac{202}{21}}$