ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 100 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а:

1. $\frac{a^{\frac{1}{2}} a^{-0.5}}{a^{\frac{1}{3}}}$
2. $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$
3. $(a^{2.5})^2 \sqrt[5]{a}$
4. $\sqrt[7]{a^2} \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$

1. $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2} — \frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^1}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{1 — \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2. $\frac{a^{-3}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{-3}\cdot a^{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}}=a^{-3}\cdot a^{\frac{6}{3}}=a^{-3}\cdot a^2=a^{-3+2}=a^{-1}$ $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3} — \frac{1}{3}} = a^{-3} \cdot a^{\frac{6}{3}} = a^{-3} \cdot a^2 = a^{-3 + 2} = a^{-1}$

Ответ: $a^{-1}$

$(a^{2.5})^2 \cdot \sqrt[5]{a} = a^{2.5 \cdot 2} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^5 \cdot a^{0.2} = a^{5 + 0.2} = a^{5.2}$

Ответ: $a^{5.2}$

4. $\sqrt[7]{a^2}\cdot {\left(a^{\frac{14}{3}}\right)}^2=a^{\frac{2}{7}}\cdot a^{\frac{28}{3}}=a^{\frac{2}{7}+\frac{28}{3}}=a^{\frac{6+196}{21}}=a^{\frac{202}{21}}$$\sqrt[7]{a^2} \cdot \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2 = a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{28}{3}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{28}{3}} = a^{\frac{6 + 196}{21}} = a^{\frac{202}{21}}$

Ответ: $a^{\frac{202}{21}}$

1) $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}}$

• Первоначально, обратим внимание, что $a^{-0.5}$— это то же самое, что $a^{-\frac{1}{2}}$, и множитель $a^{\frac{1}{2}}$ и $a^{-\frac{1}{2}}$ можно сложить:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}}$$

• Теперь в числителе у нас $a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}$ , а по правилам умножения степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. То есть:

$$a^{\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^{\frac{1}{2} — \frac{1}{2}} = a^0 = 1$$

• Получаем выражение:
  $$\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}$$
• Так как деление на степень эквивалентно умножению на её отрицательную степень, то:
  $$1 \cdot a^{-\frac{2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$$
• Однако $a^1$ можно записать как $a^{\frac{3}{3}}$, поэтому:

$$a^{\frac{1}{3}}$$${\frac{\mathrm{<strong\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;\; font-size:\; 16px;">Ответ: </strong>}}{}}^{}$$a^{\frac{1}{3}}$

2) $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

• В числителе выражение $a^{-3}\cdot a^{\frac{7}{3}}$ . При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются:

$$a^{-3 + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{9}{3} + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$$

• Получаем дробь:
  $$\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$$
• Теперь, при делении степеней с одинаковыми основаниями, степени вычитаются:
  $$a^{-\frac{2}{3} — \frac{1}{3}} = a^{-\frac{3}{3}} = a^{-1}$$

Ответ: $a^{-1}$

3) $(a^{2.5}{)}^2\cdot \text{exception 25:}$

• Сначала упростим каждое из множителей:

$(a^{2.5})^2$ можно упростить с помощью свойства степени $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;\; font-size:\; 16px;">: </span>}}^{}$

$$(a^{2.5})^2 = a^{2.5 \cdot 2} = a^5$$

$\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$

• Теперь умножим эти два выражения:
  $$a^5 \cdot a^{\frac{1}{5}}$$
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются:
  $$a^{5 + \frac{1}{5}} = a^{5.0 + 0.2} = a^{5.2}$$

Ответ: $a^{5.2}$

4) $\sqrt[7]{a^2}\cdot {\left(a^{\frac{14}{3}}\right)}^2$

• $\sqrt[7]{a^2} \cdot \left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$Упростим каждое из выражений:

$\sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}}$

$\left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2$по правилу $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$равно:

$$\left( a^{\frac{14}{3}} \right)^2 = a^{\frac{14}{3} \cdot 2} = a^{\frac{28}{3}}$$

• Теперь умножим эти два выражения:
  $$a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{28}{3}}$$
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 3 — это 21. Приведем обе дроби к знаменателю 21:
  $$a^{\frac{2}{7}} = a^{\frac{6}{21}}, \quad a^{\frac{28}{3}} = a^{\frac{196}{21}}$$
• Теперь сложим степени:
  $$a^{\frac{6}{21} + \frac{196}{21}} = a^{\frac{202}{21}}$$

Ответ: $a^{\frac{202}{21}}$

Итоговые ответы:

1. $a^{\frac{1}{3}}$
2. $a^{-1}$
3. $a^{5.2}$
4. $a^{\frac{202}{21}}$