ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1609 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а система уравнений

система

log3(y — 3) — 2 log9(x) = 0,

(х + а)2 -2у — 5а = 0 имеет хотя бы одно решение?

Найти, при каких значениях $a$ имеет решения система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{\log }_3(y-3)-2{\log }_{9}x=0\\ (x+a{)}^2-2y-5a=0\end{array};$$

Преобразуем первое уравнение:

$${\log }_3(y-3)-2{\log }_{9}x=0;$$$${\log }_3(y-3)-{\log }_{3}x=0;$$$$y-3=x;$$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$$(y-3+a{)}^2-2y-5a=0;$$$$y^2=3y+ay-3y+9-3a+ay-3a+a^2-2y-5a=0;$$$$y^2+2ay-8y+a^2-11a+9=0;$$$$y^2+(2a-8)y+(a^2-11a+9)=0;$$

Найдем дискриминант:

$$D=(2a-8{)}^2-4(a^2-11a+9);$$$$D=4a^2-32a+64-4a^2+44a-36=12a+28=4(3a+7);$$

Уравнение имеет хотя бы одно решение при $D\ge 0$:

$$3a+7\ge 0;$$$$3a\ge -7,\text{ отсюда }a\ge -\frac{7}{3};$$

Корни уравнения:

$$y=\frac{-(2a-8)\pm 2\sqrt{3a+7}}{2}=4-a\pm \sqrt{3a+7};$$

Первое значение:

$$y-3>0;$$$$4-a-\sqrt{3a+7}-3>0;$$$$1-a>\sqrt{3a+7};$$$$1-2a+a^2>3a+7;$$$$a^2-5a-6>0;$$$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49,\text{ тогда: }$$$$a_1=\frac{5-7}{2}=-1\text{ и }{a}_2=\frac{5+7}{2}=6;$$$$(a+1)(a-6)>0;$$$$a<-1\text{ и }a>6;$$

Решения есть только при $(1-a)\ge 0$:

$$-\frac{7}{3}\le a<-1;$$

Второе значение:

$$4-a+\sqrt{3a+7}-3>0;$$$$\sqrt{3a+7}>a-1;$$$$3a+7>a^2-2a+1;$$$$a^2-5a-6<0;$$$$(a+1)(a-6)<0;$$$$-1<a<6.$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{7}{3}\le a<6}}$.

Система уравнений:

$$\begin{cases} \log_3(y-3) — 2\log_9 x = 0, \\ (x + a)^2 — 2y — 5a = 0. \end{cases}$$

Нужно найти, при каких значениях $a$ эта система имеет решения.

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение

Первое уравнение системы:

$$\log_3(y-3) — 2\log_9 x = 0.$$

Для удобства работы с логарифмами преобразуем второй логарифм. Используя свойство $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$, можем выразить $\log_9 x$ через $\log_3 x$:

$$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}.$$

Теперь заменим $\log_9 x$ во втором логарифме:

$$\log_3(y-3) — 2 \cdot \frac{\log_3 x}{2} = 0,$$

что упрощается до:

$$\log_3(y-3) — \log_3 x = 0.$$

Теперь, используя свойство логарифмов $\log_b a = \log_b c \implies a = c$, получаем:

$$y — 3 = x.$$

Таким образом, $y = x + 3$.

Шаг 2. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение

Теперь подставим $y = x + 3$ во второе уравнение системы:

$$(x + a)^2 — 2y — 5a = 0.$$

Подставляем $y = x + 3$:

$$(x + a)^2 — 2(x + 3) — 5a = 0.$$

Раскроем скобки:

$$(x + a)^2 — 2x — 6 — 5a = 0.$$

Теперь раскроем квадрат:

$$x^2 + 2ax + a^2 — 2x — 6 — 5a = 0.$$

Соберем все члены:

$$x^2 + (2a — 2)x + (a^2 — 6 — 5a) = 0.$$

Таким образом, у нас получилось квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2 + (2a — 2)x + (a^2 — 5a — 6) = 0.$$

Шаг 3. Найдем дискриминант

Для того чтобы у этого уравнения были решения, его дискриминант должен быть неотрицательным. Рассчитаем дискриминант для этого уравнения. Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ равен:

$$D = B^2 — 4AC.$$

В нашем случае:

• $A = 1$,
• $B = 2a — 2$,
• $C = a^2 — 5a — 6$.

Подставляем в формулу для дискриминанта:

$$D = (2a — 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — 5a — 6).$$

Рассчитаем:

$$D = (2a — 2)^2 — 4(a^2 — 5a — 6),$$ $$D = 4a^2 — 8a + 4 — 4a^2 + 20a + 24,$$ $$D = 12a + 28.$$

Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$12a + 28 \geq 0.$$

Решаем неравенство:

$$12a \geq -28 \quad \Rightarrow \quad a \geq -\frac{7}{3}.$$

Таким образом, $a \geq -\frac{7}{3}$.

Шаг 4. Найдем корни уравнения

Для нахождения корней уравнения $x^2 + (2a — 2)x + (a^2 — 5a — 6) = 0$ используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}.$$

Подставляем значения $A = 1$, $B = 2a — 2$, $D = 12a + 28$:

$$x = \frac{-(2a — 2) \pm \sqrt{12a + 28}}{2}.$$

Упростим:

$$x = \frac{-2a + 2 \pm \sqrt{12a + 28}}{2} = 1 — a \pm \sqrt{3a + 7}.$$

Шаг 5. Условия на $y$

Нам необходимо, чтобы $y = x + 3$ было положительным, т.е. $y — 3 > 0$, или $x > 0$. Таким образом, мы получаем два случая для $x$:

1-й случай: $x = 1 — a — \sqrt{3a + 7}$

Пусть:

$$1 — a — \sqrt{3a + 7} > 0.$$

Решим это неравенство:

$$1 — a > \sqrt{3a + 7},$$ $$(1 — a)^2 > 3a + 7,$$ $$1 — 2a + a^2 > 3a + 7,$$ $$a^2 — 5a — 6 > 0.$$

Найдем корни этого квадратного неравенства. Используем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49,$$ $$a_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6.$$

Неравенство $a^2 — 5a — 6 > 0$ выполняется при $a < -1$ или $a > 6$.

2-й случай: $x = 1 — a + \sqrt{3a + 7}$

Пусть:

$$1 — a + \sqrt{3a + 7} > 0.$$

Решим это неравенство:

$$\sqrt{3a + 7} > a — 1,$$ $$3a + 7 > a^2 — 2a + 1,$$ $$a^2 — 5a — 6 < 0.$$

Найдем корни:

$$a_1 = -1, \quad a_2 = 6.$$

Неравенство $a^2 — 5a — 6 < 0$ выполняется при $-1 < a < 6$.

Шаг 6. Объединяем условия

Для того чтобы система имела решения, $a$ должно удовлетворять условиям из двух случаев:

1. $-\frac{7}{3} \leq a < -1$.
2. $-1 < a < 6$.

Таким образом, окончательное решение:

$$\boxed{-\frac{7}{3} \leq a < 6}.$$