ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 987 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что функция F (х) является первообразной функции f(x) на всей числовой прямой:

1. F (х) = Зеx/3 , f (х) = еx/3;
2. F (х) = sin 2х, f (х) = 2 cos 2х.

1. $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$;

$$F'(x) = 3 \cdot \left( e^{\frac{x}{3}} \right)’ = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot e^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{x}{3}} = f(x);$$

2. $F(x) = \sin 2x$ и $f(x) = 2 \cos 2x$;

$$F'(x) = (\sin 2x)’ = 2 \cos 2x = f(x);$$

Задача 1:

Дано:
$F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} \quad \text{и} \quad f(x) = e^{\frac{x}{3}}.$

Нужно найти производную функции $F(x)$ и показать, что $F'(x) = f(x)$.

Решение:

1. Мы начинаем с того, что находим производную функции $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$. Для этого применим правило дифференцирования сложной функции.
2. В данном случае функция $e^{\frac{x}{3}}$ является сложной функцией, поэтому для нахождения её производной используем цепное правило дифференцирования.

Цепное правило гласит, что если $y = e^{g(x)}$, то производная $y’ = e^{g(x)} \cdot g'(x)$.

3. В нашей задаче функция $F(x)$ имеет вид:
   $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}},$
   где $e^{\frac{x}{3}}$ — это сложная функция. Чтобы найти её производную, нужно сначала дифференцировать экспоненту, а затем умножить на производную экспоненциального выражения $\frac{x}{3}$.

Шаги:

• Производная функции $e^{\frac{x}{3}}$ по $x$:

$$\left( e^{\frac{x}{3}} \right)’ = e^{\frac{x}{3}} \cdot \left( \frac{x}{3} \right)’ = e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3}.$$

• Теперь, используя это, находим производную $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$:

$$F'(x) = 3 \cdot \left( e^{\frac{x}{3}} \right)’ = 3 \cdot \left( e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} \right) = e^{\frac{x}{3}}.$$

Таким образом, получаем, что:

$$F'(x) = e^{\frac{x}{3}}.$$

Теперь видно, что $F'(x) = f(x)$, поскольку $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$.

Ответ: $F'(x) = f(x)$, как и требовалось доказать.

Задача 2:

Дано:
$F(x) = \sin 2x \quad \text{и} \quad f(x) = 2 \cos 2x.$

Нужно найти производную функции $F(x)$ и показать, что $F'(x) = f(x)$.

Решение:

1. Для нахождения производной функции $F(x) = \sin 2x$ применим правило дифференцирования сложной функции.
2. $F(x) = \sin(2x)$ — это составная функция, где $2x$ является внутренней функцией. Чтобы найти её производную, нужно использовать цепное правило.

Цепное правило: если $y = \sin(g(x))$, то $y’ = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$.

3. В нашей задаче функция $F(x) = \sin(2x)$, и для неё $g(x) = 2x$. Чтобы найти производную, сначала дифференцируем $\sin(2x)$, а затем умножаем на производную внутренней функции $2x$.

Шаги:

• Производная функции $\sin(2x)$ по $x$:

$$\left( \sin(2x) \right)’ = \cos(2x) \cdot \left( 2x \right)’ = \cos(2x) \cdot 2.$$

• Таким образом, получаем:

$$F'(x) = 2 \cos(2x).$$

Теперь, по условию задачи, $f(x) = 2 \cos(2x)$, и мы видим, что:

$$F'(x) = f(x).$$

Ответ: $F'(x) = f(x)$, как и требовалось доказать.