ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 979 Алимов — Подробные Ответы

Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5/2?

Пусть $h$ — высота кузова, а $a$ и $b$ — его длина и ширина, тогда:

$$\frac{a}{b} = \frac{5}{2} = k, \quad \text{отсюда } a = 5k \text{ и } b = 2k;$$ $$S_{\text{пов}} = ab + 2ah + 2bh = 10k^2 + 10kh + 4kh = 10k^2 + 14kh = 2S;$$ $$14kh = 2S — 10k^2, \quad \text{отсюда } h = \frac{2S — 10k^2}{14k};$$

Объем кузова:

$$V(k) = abh = 5k \cdot 2k \cdot \frac{2S — 10k^2}{14k} = \frac{20Sk^2 — 100k^4}{14k} = \frac{5}{7}(2Sk — 10k^3);$$

Производная функции:

$$V'(k) = \frac{5}{7} \cdot (2S \cdot (k)’ — 10 \cdot (k^3)’);$$ $$V'(k) = \frac{5}{7} \cdot (2S — 10 \cdot 3k^2);$$ $$V'(k) = 10 \cdot \frac{S — 15k^2}{7};$$

Промежуток возрастания:

$$S — 15k^2 > 0;$$ $$15k^2 < S;$$ $$k^2 < \frac{S}{15};$$ $$-\sqrt{\frac{S}{15}} < k < \sqrt{\frac{S}{15}};$$

Искомые значения:

$$k = \sqrt{\frac{S}{15}} \quad \text{— точка максимума};$$ $$a = 5 \sqrt{\frac{S}{15}} \quad \text{и} \quad b = 2 \sqrt{\frac{S}{15}};$$

Ответ: $5 \sqrt{\frac{S}{15}}$ и $2 \sqrt{\frac{S}{15}}$.

Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности $2S$. Необходимо найти длину и ширину кузова так, чтобы его объем был наибольшим, при этом отношение длины $a$ к ширине $b$ равно $\frac{5}{2}$.

Шаг 1: Обозначения и исходные данные

Пусть:

• $a$ — длина кузова,
• $b$ — ширина кузова,
• $h$ — высота кузова.

Из условия задачи известно, что:

$$\frac{a}{b} = \frac{5}{2}, \quad \text{т.е.} \quad a = \frac{5}{2}b.$$

Также известно, что площадь поверхности кузова составляет $2S$. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (без верхней грани) состоит из следующих частей:

• 2 боковые стены, каждая с площадью $a \cdot h$,
• 2 боковые стены, каждая с площадью $b \cdot h$,
• 1 дно с площадью $a \cdot b$.

Итак, площадь поверхности кузова:

$$S_{\text{пов}} = 2(a \cdot h) + 2(b \cdot h) + a \cdot b.$$

Подставим $a = \frac{5}{2}b$ в это выражение:

$$S_{\text{пов}} = 2\left( \frac{5}{2}b \cdot h \right) + 2(b \cdot h) + \left( \frac{5}{2}b \cdot b \right).$$

Упростим:

$$S_{\text{пов}} = 5bh + 2bh + \frac{5}{2}b^2 = 7bh + \frac{5}{2}b^2.$$

Площадь поверхности равна $2S$, следовательно:

$$7bh + \frac{5}{2}b^2 = 2S.$$

Решим это относительно $h$:

$$h = \frac{2S — \frac{5}{2}b^2}{7b}.$$

Шаг 2: Объем кузова

Объем кузова $V$ равен:

$$V = a \cdot b \cdot h.$$

Подставим выражение для $a = \frac{5}{2}b$ и $h$:

$$V = \frac{5}{2}b \cdot b \cdot \frac{2S — \frac{5}{2}b^2}{7b}.$$

Упростим:

$$V = \frac{5}{2} \cdot \frac{b^2(2S — \frac{5}{2}b^2)}{7b} = \frac{5}{14} b (2S — \frac{5}{2}b^2).$$

Таким образом, объем кузова:

$$V(b) = \frac{5}{14} b \left( 2S — \frac{5}{2}b^2 \right).$$

Шаг 3: Нахождение производной объема

Чтобы найти точку максимума, нужно вычислить первую производную объема $V(b)$ по $b$:

$$V'(b) = \frac{5}{14} \left[ 2S — \frac{15}{2}b^2 \right].$$

Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки:

$$0 = 2S — \frac{15}{2}b^2.$$

Решим это относительно $b^2$:

$$\frac{15}{2}b^2 = 2S \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{4S}{15}.$$

Таким образом, $b = \sqrt{\frac{4S}{15}}$.

Шаг 4: Нахождение длины и высоты

Теперь, зная $b$, найдем $a$ и $h$.

Длина $a$ из условия задачи:

$$a = \frac{5}{2}b = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{4S}{15}} = \sqrt{\frac{25S}{15}} = \sqrt{\frac{5S}{3}}.$$

Высота $h$, подставив $b = \sqrt{\frac{4S}{15}}$ в выражение для $h$:

$$h = \frac{2S — \frac{5}{2}b^2}{7b} = \frac{2S — \frac{5}{2} \cdot \frac{4S}{15}}{7 \cdot \sqrt{\frac{4S}{15}}} = \frac{2S — \frac{10S}{15}}{7 \cdot \sqrt{\frac{4S}{15}}} = \frac{\frac{20S}{15} — \frac{10S}{15}}{7 \cdot \sqrt{\frac{4S}{15}}}.$$

Упростим:

$$h = \frac{\frac{10S}{15}}{7 \cdot \sqrt{\frac{4S}{15}}} = \frac{10S}{15 \cdot 7 \cdot \sqrt{\frac{4S}{15}}}.$$

Шаг 5: Ответ

Итак, для максимального объема:

• Длина кузова $a = \sqrt{\frac{5S}{3}}$,
• Ширина кузова $b = \sqrt{\frac{4S}{15}}$,
• Высота кузова $h = \frac{\sqrt{S}}{15}$.