ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 974 Алимов — Подробные Ответы

Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей;

Пусть $m$ и $n$ — длины диагоналей параллелограмма, тогда:
$m + n = a, \text{ отсюда } m = a — n;$
$S(n) = m^2 + n^2 = (a — n)^2 + n^2;$

Производная функции:
$S'(n) = (a — n)^2 + (n^2)’;$
$S'(n) = 2 \cdot (-1) \cdot (a — n) + 2n;$
$S'(n) = 2 \cdot (n — a + n);$
$S'(n) = 2 \cdot (2n — a);$

Промежуток возрастания:
$2n — a > 0;$
$2n > a, \text{ отсюда } n > \frac{a}{2};$

Искомые значения:
$n = \frac{a}{2} \text{ — точка минимума; }$
$S\left(\frac{a}{2}\right) = \left(a — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2};$

Ответ: $\boxed{\frac{a^2}{2}}$.

1. Пусть $m$ и $n$ — длины диагоналей параллелограмма.
2. Из условия задачи: сумма диагоналей равна $a$, т.е. $m + n = a$.
3. Мы также знаем, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей:

   $$S(n) = m^2 + n^2$$

   где $m = a — n$.

Шаг 1: Найдем функцию для суммы квадратов сторон.

Используя связь между $m$ и $n$, подставим $m = a — n$ в выражение для суммы квадратов:

$$S(n) = m^2 + n^2 = (a — n)^2 + n^2.$$

Раскроем скобки:

$$S(n) = (a^2 — 2an + n^2) + n^2 = a^2 — 2an + 2n^2.$$

Таким образом, функция суммы квадратов сторон параллелограмма $S(n)$ от $n$ имеет вид:

$$S(n) = a^2 — 2an + 2n^2.$$

Шаг 2: Найдем производную функции.

Для нахождения экстремума функции, найдем её производную по $n$:

$$S'(n) = \frac{d}{dn}(a^2 — 2an + 2n^2) = 0 — 2a + 4n.$$

Итак, производная функции:

$$S'(n) = 4n — 2a.$$

Шаг 3: Найдем критическую точку.

Чтобы найти критическую точку, приравняем производную к нулю:

$$4n — 2a = 0,$$

откуда $n = \frac{a}{2}$.

Шаг 4: Определим, является ли точка минимальной.

Для этого проверим вторую производную функции:

$$S»(n) = 4.$$

Поскольку вторая производная положительна, это означает, что функция имеет минимум в точке $n = \frac{a}{2}$.

Шаг 5: Вычислим наименьшее значение функции.

Подставим $n = \frac{a}{2}$ в исходное выражение для суммы квадратов сторон:

$$S\left(\frac{a}{2}\right) = a^2 — 2a\cdot\frac{a}{2} + 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 — a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}.$$

Ответ:

Наименьшее значение суммы квадратов всех сторон параллелограмма равно $\frac{a^2}{2}$.