ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 973 Алимов — Подробные Ответы

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов треугольника, тогда:
$a + b = 40, \text{ отсюда } b = 40 — a;$
$S(a) = \frac{1}{2} \cdot ab = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (40 — a) = 20a — \frac{1}{2}a^2;$

Производная функции:
$S'(a) = (20a)’ — \frac{1}{2} \cdot (a^2)’ = 20 — \frac{1}{2} \cdot 2a = 20 — a;$

Промежуток возрастания:
$20 — a > 0, \text{ отсюда } a < 20;$

Искомые значения:
$a = 20 \text{ — точка максимума; }$
$b = 40 — 20 = 20;$

Ответ: 20 и 20.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника, причем сумма катетов составляет 40, то есть:

$$a + b = 40$$

Необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь треугольника $S(a)$ будет максимальной.

1. Выражение для площади треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов $a$ и $b$ по формуле:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Из условия задачи мы знаем, что сумма катетов равна 40:

$$a + b = 40 \quad \Rightarrow \quad b = 40 — a$$

Таким образом, можно выразить площадь $S(a)$ как функцию от одного катета $a$, подставив выражение для $b$:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (40 — a)$$

Раскроем скобки и упростим:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot \left( 40a — a^2 \right)$$ $$S(a) = 20a — \frac{1}{2}a^2$$

Теперь у нас есть выражение для площади $S(a)$ как функции от $a$:

$$S(a) = 20a — \frac{1}{2}a^2$$

2. Нахождение производной функции

Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти производную функции $S(a)$. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

Производная от $20a$ равна 20, а производная от $\frac{1}{2}a^2$ равна $a$:

$$S'(a) = (20a)’ — \frac{1}{2} \cdot (a^2)’$$ $$S'(a) = 20 — \frac{1}{2} \cdot 2a = 20 — a$$

Теперь у нас есть производная функции площади:

$$S'(a) = 20 — a$$

3. Нахождение точки максимума

Для нахождения максимума функции площади $S(a)$ приравняем производную $S'(a)$ к нулю:

$$S'(a) = 0$$ $$20 — a = 0$$ $$a = 20$$

Таким образом, максимальное значение площади $S(a)$ достигается, когда $a = 20$.

4. Вычисление значения $b$

Теперь, зная, что $a = 20$, можем найти значение второго катета $b$ с помощью выражения $b = 40 — a$:

$$b = 40 — 20 = 20$$

5. Проверка, что это точка максимума

Чтобы убедиться, что найденная точка $a = 20$ действительно является точкой максимума, рассмотрим знак производной на интервалах. Производная $S'(a) = 20 — a$ линейная, и она меняет знак при $a = 20$:

• Для $a < 20$, производная $S'(a) = 20 — a$ положительна, то есть функция возрастает.
• Для $a > 20$, производная $S'(a) = 20 — a$ отрицательна, то есть функция убывает.

Поскольку функция возрастает до $a = 20$ и убывает после, это означает, что точка $a = 20$ является точкой максимума.

6. Ответ

Таким образом, при максимальной площади треугольника значения катетов следующие:

• $a = 20$
• $b = 20$

Ответ: катеты равны 20 и 20.