ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 966 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция у = 1,8х5 — 2*1×3/3 + 7х + 12,5 возрастает на всей области определения.

$y = 1{,}8x^5 — 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12{,}5$;

Производная функции:

$y'(x) = 1{,}8 \cdot (x^5)’ — \frac{7}{3} \cdot (x^3)’ + (7x + 12{,}5)’$;

$y'(x) = 1{,}8 \cdot 5x^4 — \frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 7$;

$y'(x) = 9x^4 — 7x^2 + 7$;

Стационарные точки:

$9x^4 — 7x^2 + 7 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 — 252 = -203$;

$D < 0$, значит корней нет;

Знак производной:

$y'(0) = 9 \cdot 0^4 — 7 \cdot 0^2 + 7 = 7 > 0$;

Таким образом, функция возрастает на всей области определения, что и требовалось доказать.

Исследовать функцию:

$$y = 1{,}8x^5 — 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12{,}5$$

на возрастание и убывание.

Шаг 1: Приведём дроби и коэффициенты к удобному виду

Запишем дроби в виде десятичных или неправильных дробей:

• $1{,}8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
• $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
• $12{,}5 = \frac{25}{2}$

Перепишем функцию:

$$y = \frac{9}{5}x^5 — \frac{7}{3}x^3 + 7x + \frac{25}{2}$$

Шаг 2: Найдём производную $y'(x)$

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$y = \frac{9}{5}x^5 — \frac{7}{3}x^3 + 7x + \frac{25}{2}$$

Продифференцируем каждый член:

• $\left( \frac{9}{5}x^5 \right)’ = \frac{9}{5} \cdot 5x^4 = 9x^4$
• $\left( -\frac{7}{3}x^3 \right)’ = -\frac{7}{3} \cdot 3x^2 = -7x^2$
• $(7x)’ = 7$
• $\left( \frac{25}{2} \right)’ = 0$ (производная константы)

Получаем:

$$y'(x) = 9x^4 — 7x^2 + 7$$

Шаг 3: Найдём стационарные точки

Стационарные точки — это те, где $y'(x) = 0$:

$$9x^4 — 7x^2 + 7 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x^2$. Обозначим:

$$u = x^2, \quad \Rightarrow 9u^2 — 7u + 7 = 0$$

Посчитаем дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 — 252 = -203$$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, то есть:

$$y'(x) \ne 0 \quad \text{ни при каком } x \in \mathbb{R}.$$

Шаг 4: Определим знак производной

Раз производная не обнуляется ни при каком $x$, и это непрерывная функция, достаточно проверить её знак в одной точке, чтобы понять знак на всей числовой прямой.

Проверим при $x = 0$:

$$y'(0) = 9 \cdot 0^4 — 7 \cdot 0^2 + 7 = 0 — 0 + 7 = 7 > 0$$

Значит:

• производная положительна на всей области определения,
• функция всегда возрастает.

Шаг 5: Вывод

Функция $y = 1{,}8x^5 — 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12{,}5$ возрастает при всех $x \in \mathbb{R}$, поскольку её производная всегда положительна.

Окончательный ответ:

Функция возрастает на всей области определения $\mathbb{R}$. Стационарных точек нет. Что и требовалось доказать.