ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 963 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, тогда:
$P = 2a + 2b, \text{ отсюда } b = \frac{P}{2} — a;$
$d(a) = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{P}{2} — a \right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{P^2}{4} — Pa + a^2} = \sqrt{2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}};$

Производная функции:
Пусть $u = 2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}$, тогда $d(u) = \sqrt{u}$;
$d'(x) = \left( 2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4} \right)’ \cdot (\sqrt{u})’ = (4a — P) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{4a — P}{2\sqrt{2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}}};$

Промежуток возрастания:
$4a — P > 0;$
$4a > P, \text{ отсюда } a > \frac{P}{4};$

Искомые значения:
$a = \frac{P}{4} — \text{ точка минимума; }$
$b = \frac{P}{2} — \frac{P}{4} = \frac{P}{4};$

Таким образом, прямоугольник с данным периметром $P$ имеет наименьшую диагональ, если его стороны равны, то есть если он является квадратом, что и требовалось доказать.

Условие:

У прямоугольника периметр $P$, стороны $a$ и $b$, диагональ $d$. Требуется найти при каком соотношении сторон $d$ минимальна.

Шаг 1: Выразим одну сторону через другую и периметр

Периметр прямоугольника:

$$P = 2a + 2b$$

Выразим $b$ через $a$ и $P$:

$$2a + 2b = P \Rightarrow a + b = \frac{P}{2} \Rightarrow b = \frac{P}{2} — a$$

Шаг 2: Формула диагонали прямоугольника

По теореме Пифагора:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Подставим выражение для $b$:

$$d(a) = \sqrt{a^2 + \left( \frac{P}{2} — a \right)^2}$$

Шаг 3: Раскроем квадрат

$$\left( \frac{P}{2} — a \right)^2 = \frac{P^2}{4} — Pa + a^2$$

Подставим в формулу для диагонали:

$$d(a) = \sqrt{a^2 + \left( \frac{P^2}{4} — Pa + a^2 \right)} = \sqrt{2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}}$$

Шаг 4: Обозначим подкоренное выражение

Обозначим:

$$u(a) = 2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}, \quad \text{тогда} \quad d(a) = \sqrt{u(a)}$$

Шаг 5: Найдём производную $d'(a)$

Применим правило производной сложной функции:

$$\frac{d}{da} \left( \sqrt{u(a)} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u(a)}} \cdot u'(a)$$

Вычислим $u'(a)$:

$$u(a) = 2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4} \Rightarrow u'(a) = 4a — P$$

Тогда:

$$d'(a) = \frac{4a — P}{2\sqrt{2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}}}$$

Шаг 6: Найдём критические точки — приравняем производную к нулю

$$d'(a) = 0 \Rightarrow \frac{4a — P}{2\sqrt{2a^2 — Pa + \frac{P^2}{4}}} = 0$$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

$$4a — P = 0 \Rightarrow a = \frac{P}{4}$$

Шаг 7: Найдём соответствующее значение $b$

$$b = \frac{P}{2} — a = \frac{P}{2} — \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$$

То есть:

$$a = b = \frac{P}{4}$$

Шаг 8: Анализ знака производной (проверим минимум)

• Если $a < \frac{P}{4}$, то $4a — P < 0 \Rightarrow d'(a) < 0$ — функция убывает
• Если $a > \frac{P}{4}$, то $4a — P > 0 \Rightarrow d'(a) > 0$ — функция возрастает

Значит, в точке $a = \frac{P}{4}$ — минимум функции диагонали.

Шаг 9: Вывод

При фиксированном периметре $P$ минимальная диагональ $d$ достигается, когда:

$$a = b = \frac{P}{4}$$

то есть прямоугольник является квадратом.