ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 958 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции:

1. у = х3 — 4х2;
2. у = 3х4 — 4х3.

$y = x^3 — 4x^2$;

$y'(x) = (x^3)’ — 4 \cdot (x^2)’ = 3x^2 — 4 \cdot 2x = 3x^2 — 8x$;

Промежуток возрастания:

$3x^2 — 8x > 0$;

$x \cdot (3x — 8) > 0$;

$x < 0$ или $x > \frac{8}{3}$;

Ответ: $x = 2 \frac{2}{3}$ — точка минимума;

$x = 0$ — точка максимума.

$y = 3x^4 — 4x^3$;

$y'(x) = 3 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^3)’ = 3 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 — 12x^2$;

Промежуток возрастания:

$12x^3 — 12x^2 > 0$;

$12x^2 \cdot (x — 1) > 0$;

$x — 1 > 0$, отсюда $x > 1$;

Ответ: $x = 1$ — точка минимума.

1) $y = x^3 — 4x^2$

Шаг 1: Найдём производную функции $y(x)$

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$$

Вычислим производные:

• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

Подставим:

$$y'(x) = 3x^2 — 4 \cdot 2x = 3x^2 — 8x$$

Шаг 2: Найдём критические точки (приравниваем производную к нулю)

$$3x^2 — 8x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(3x — 8) = 0$$

Теперь найдём корни:

• $x = 0$
• $3x — 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3} = 2 \dfrac{2}{3}$

Шаг 3: Исследуем знак производной — интервальный метод

Разбиваем числовую прямую на интервалы, определённые корнями производной:

• $(-\infty,\ 0)$
• $(0,\ \frac{8}{3})$
• $\left(\frac{8}{3},\ +\infty \right)$

Выбираем тестовые точки и подставляем в $y'(x) = 3x^2 — 8x$:

1. $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 3(-1)^2 — 8(-1) = 3 + 8 = 11 > 0$
2. $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 3(1)^2 — 8(1) = 3 — 8 = -5 < 0$
3. $x = 3 \Rightarrow y'(3) = 3(3)^2 — 8(3) = 27 — 24 = 3 > 0$

Шаг 4: Делим ось и делаем выводы

Шаг 5: Определим экстремумы

• В точке $x = 0$: производная меняет знак с $+$ на $—$ ⇒ это максимум.
• В точке $x = \frac{8}{3}$: производная меняет знак с $—$ на $+$ ⇒ это минимум.

Ответ:

• Промежутки возрастания: $x < 0$ и $x > \frac{8}{3}$
• Промежуток убывания: $0 < x < \frac{8}{3}$
• Точка максимума: $x = 0$
• Точка минимума: $x = \frac{8}{3} = 2 \dfrac{2}{3}$

2) $y = 3x^4 — 4x^3$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) — 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$$

• $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3 \Rightarrow 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$
• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \Rightarrow 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$

Подставим:

$$y'(x) = 12x^3 — 12x^2$$

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю

$$12x^3 — 12x^2 = 0$$

Вынесем $12x^2$:

$$12x^2(x — 1) = 0$$

Корни:

• $x = 0$
• $x = 1$

Шаг 3: Исследуем знак производной — интервальный метод

Разбиваем на интервалы:

• $(-\infty,\ 0)$
• $(0,\ 1)$
• $(1,\ +\infty)$

Подставляем в $y'(x) = 12x^3 — 12x^2$

1. $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = -12 — 12 = -24 < 0$
2. $x = 0.5 \Rightarrow y'(0.5) = 12(0.125) — 12(0.25) = 1.5 — 3 = -1.5 < 0$
3. $x = 2 \Rightarrow y'(2) = 12(8) — 12(4) = 96 — 48 = 48 > 0$

Шаг 4: Поведение функции

На интервале $x \in (-\infty,\ 0)$ производная также отрицательна (убывает), при $x = 0$ нет смены знака.

Шаг 5: Экстремумы

• В точке $x = 0$: производная не меняет знак ⇒ не экстремум, но точка перегиба возможна.
• В точке $x = 1$: производная меняет знак с $—$ на $+$ ⇒ это минимум.

Ответ:

• Промежуток возрастания: $x > 1$
• Промежуток убывания: $x < 1$
• Точка минимума: $x = 1$