ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 946 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьшее значение функции:

1. е3х — 3х на интервале (-1; 1);
2. 1/x + ln х на интервале (0; 2).

1) $f(x) = e^{3x} — 3x$ на отрезке $(-1; 1)$;

$f'(x) = (e^{3x})’ — (3x)’ = 3 \cdot e^{3x} — 3 = 3 \cdot (e^{3x} — 1);$

Промежуток возрастания:

$e^{3x} — 1 > 0;$

$e^{3x} > 1;$

$e^{3x} > e^0;$

$3x > 0,$ отсюда $x > 0;$

Значения функции:

$f(0) = e^0 — 3 \cdot 0 = e^0 = 1;$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1.$

2) $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$ на отрезке $(0; 2)$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ + (\ln x)’ = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x};$

Промежуток возрастания:

$\frac{1}{x} — \frac{1}{x^2} > 0;$

$x — 1 > 0,$ отсюда $x > 1;$

Значения функции:

$f(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + \ln e^0 = 1 + 0 = 1;$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1.$

1) $f(x) = e^{3x} — 3x$ на интервале $(-1; 1)$

Шаг 1: Найдём производную

Функция состоит из двух слагаемых:

• Производная $e^{3x}$ по правилу цепочки:

  $$(e^{3x})’ = 3 \cdot e^{3x}$$

• Производная $-3x$ равна:

  $$(-3x)’ = -3$$

Итак, производная функции:

$$f'(x) = 3e^{3x} — 3$$

Вынесем общий множитель 3:

$$f'(x) = 3(e^{3x} — 1)$$

Шаг 2: Найдём знак производной

Рассматриваем неравенство:

$$f'(x) > 0 \Rightarrow 3(e^{3x} — 1) > 0$$

Так как 3 > 0, знак производной зависит от выражения в скобках:

$$e^{3x} — 1 > 0 \Rightarrow e^{3x} > 1$$

Поскольку $e^a > 1$ тогда и только тогда, когда $a > 0$, то:

$$3x > 0 \Rightarrow x > 0$$

Шаг 3: Вывод о возрастании и убывании

• $x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0 \Rightarrow$ функция убывает
• $x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow$ функция возрастает

Значит, минимум достигается в точке $x = 0$, которая находится внутри интервала $(-1; 1)$.

Шаг 4: Найдём значение функции в точке минимума

$$f(0) = e^{3 \cdot 0} — 3 \cdot 0 = e^0 — 0 = 1$$

Ответ к 1-ой части:

$$\boxed{y_{\min} = 1}$$

2) $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2)$

Шаг 1: Найдём производную

Функция состоит из:

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$

Сложим:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$$

Перепишем удобнее:

$$f'(x) = \frac{1}{x} — \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Рассмотрим неравенство $f'(x) > 0$:

$$\frac{1}{x} — \frac{1}{x^2} > 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x — 1}{x^2} > 0$$

Знаменатель $x^2 > 0$ для всех $x > 0$, можно умножить на него, знак не изменится:

$$x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Шаг 3: Вывод о возрастании и убывании

• $x < 1 \Rightarrow f'(x) < 0 \Rightarrow$ функция убывает
• $x > 1 \Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow$ функция возрастает

Значит, функция достигает минимума при $x = 1$ (внутри интервала $(0; 2)$).

Шаг 4: Найдём значение функции в точке минимума

$$f(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1$$

Ответ ко 2-ой части:

$$\boxed{y_{\min} = 1}$$