ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 943 Алимов — Подробные Ответы

Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, тогда:

$$S=a\cdot b=9,\text{ отсюда }a=\frac{9}{b};$$$$P=2a+2b=\frac{18}{b}+2b;$$

Производная функции:

$$P^{\mathrm{\prime }}(b)=18\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{\mathrm{\prime }}+(2b{)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{18}{b^2}+2;$$

Промежуток возрастания:

$$2-\frac{18}{b^2}>0;$$$$2b^2-18>0;$$$$b^2-9>0;$$$$b^2>9;$$$$b<-3\text{ или }b>3;$$

Искомые числа:

$$b=3(\text{см})-\text{точка минимума};$$$$a=\frac{9}{3}=3(\text{см});$$

Ответ: квадрат со стороной 3 см.

Шаг 1: Ввод переменных

Пусть:

• $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, в сантиметрах;
• $S$ — площадь прямоугольника;
• $P$ — периметр прямоугольника.

Шаг 2: Запись формул площади и периметра

Площадь прямоугольника:

$$S=a\cdot b$$

Периметр прямоугольника:

$$P=2a+2b$$

Шаг 3: Подстановка известного значения площади

По условию:

$$S=a\cdot b=9$$

Выразим $a$ через $b$:

$$a=\frac{9}{b}$$

Шаг 4: Подстановка выражения для $a$ в формулу периметра

$$P=2a+2b=2\cdot \frac{9}{b}+2b=\frac{18}{b}+2b$$

Таким образом, периметр — функция от одной переменной $b$:

$$P(b)=\frac{18}{b}+2b$$

Шаг 5: Исследуем функцию на минимум

Для нахождения экстремума (минимума или максимума) функции нужно найти производную и определить, при каких значениях $b$ она равна нулю или не существует.

Шаг 6: Нахождение производной функции $P(b)$

Найдём производную:

$$P(b)=\frac{18}{b}+2b$$

Напомним, что:

• Производная ${\left(\frac{1}{b}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{b^2}$
• Производная $(2b{)}^{\mathrm{\prime }}=2$

Тогда:

$$P^{\mathrm{\prime }}(b)={\left(\frac{18}{b}\right)}^{\mathrm{\prime }}+(2b{)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{18}{b^2}+2$$

Шаг 7: Найдём критические точки

Найдем, при каких значениях $b$ производная равна нулю:

$$P^{\mathrm{\prime }}(b)=-\frac{18}{b^2}+2=0$$

Перенесем один из слагаемых:

$$2=\frac{18}{b^2}$$

Умножим обе части на $b^2$:

$$2b^2=18$$

Разделим обе части на 2:

$$b^2=9$$

Извлекаем корень:

$$b=\pm 3$$

Шаг 8: Проверка на допустимость значений

Так как $b$ — длина стороны прямоугольника, она должна быть положительной.
Следовательно:

$$b=3$$

Шаг 9: Проверка характера критической точки

Проверим знак производной $P^{\mathrm{\prime }}(b)$ по обе стороны от точки $b=3$, чтобы выяснить — минимум это или максимум.

Для $b=2$ (меньше 3):

$$P^{\mathrm{\prime }}(2)=-\frac{18}{4}+2=-4.5+2=-2.5$$

Для $b=4$ (больше 3):

$$P^{\mathrm{\prime }}(4)=-\frac{18}{16}+2=-1.125+2=0.875$$

Значит, при $b=3$ функция $P(b)$ достигает минимума.

Шаг 10: Найдём вторую сторону $a$

$$a=\frac{9}{b}=\frac{9}{3}=3$$

Шаг 11: Ответ

Обе стороны равны 3 см — значит, это квадрат.

Ответ: квадрат со стороной 3 см.