ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 908 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а функция у = х3 — 2х2 + ах возрастает на всей числовой прямой?

$y = x^3 — 2x^2 + ax$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 2 \cdot (x^2)’ + a \cdot (x)’;$
$y'(x) = 3x^2 — 2 \cdot 2x + a = 3x^2 — 4x + a;$

Функция возрастает на всей числовой прямой:
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 16 — 12a = 4 \cdot (4 — 3a) \leq 0;$
$4 — 3a \leq 0;$
$3a \geq 4, \text{отсюда } a \geq \frac{4}{3};$

Ответ: $a \geq \frac{4}{3}$.

Нам дана функция:

$$y = x^3 — 2x^2 + ax$$

Мы должны найти, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на всей числовой прямой. Для этого будем использовать производную функции и анализировать её знак.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции $y = x^3 — 2x^2 + ax$. Мы будем использовать стандартные правила дифференцирования:

1. Для $x^3$ применяем правило дифференцирования степенной функции $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$, получаем:

   $$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

2. Для $-2x^2$ используем то же правило дифференцирования степенной функции:

   $$\frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x = -4x$$

3. Для $ax$, где $a$ — это константа, производная от линейной функции равна $a$, так как производная $ax$ по $x$ — это просто $a$.

Таким образом, производная функции $y = x^3 — 2x^2 + ax$ будет:

$$y'(x) = 3x^2 — 4x + a$$

Шаг 2: Условие возрастания функции

Чтобы функция $y$ возрастала на всей числовой прямой, её производная $y'(x)$ должна быть больше или равна нулю для всех значений $x$, то есть:

$$y'(x) \geq 0$$

Подставляем выражение для производной:

$$3x^2 — 4x + a \geq 0$$

Это — квадратичное неравенство относительно $x$. Однако для того, чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, важно, чтобы её производная была неотрицательной для всех $x$. Это условие будет выполнено, если квадратное неравенство имеет дискриминант, не превышающий нуля. Иными словами, нам нужно, чтобы уравнение $3x^2 — 4x + a = 0$ не имело двух разных действительных корней, или же имело один корень (в случае равенства производной нулю), что обеспечит неотрицательность всей производной на всей прямой.

Шаг 3: Рассмотрение дискриминанта

Для анализа неравенства $3x^2 — 4x + a \geq 0$, нужно вычислить дискриминант квадратичного уравнения $3x^2 — 4x + a = 0$. Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

В нашем случае:

• $A = 3$
• $B = -4$
• $C = a$

Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 16 — 12a$$

Шаг 4: Условие для дискриминанта

Чтобы квадратичное неравенство $3x^2 — 4x + a \geq 0$ было верно для всех $x$, дискриминант $D$ должен быть меньше или равен нулю:

$$D \leq 0$$

Подставляем выражение для дискриминанта:

$$16 — 12a \leq 0$$

Теперь решим это неравенство:

$$16 \leq 12a$$

Делим обе части неравенства на 12:

$$\frac{16}{12} \leq a$$

Упрощаем дробь:

$$\frac{4}{3} \leq a$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы $a \geq \frac{4}{3}$.

Ответ:

$$a \geq \frac{4}{3}$$