ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 88 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{a^3+b^3}$
2. $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}-\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$
3. $\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}$
4. $\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$

1)$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}=\frac{(a-b)(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})-(a+b)(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}=$$

$$=\frac{a^{1+\frac{1}{3}}+a{b}^{\frac{1}{3}}-b{a}^{\frac{1}{3}}-b^{1+\frac{1}{3}}-a^{1+\frac{1}{3}}+a{b}^{\frac{1}{3}}-b{a}^{\frac{1}{3}}+b^{1+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}=\frac{2a{b}^{\frac{1}{3}}-2b{a}^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}=$$

$$=\frac{2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}\cdot (a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}=2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=2\sqrt[3]{ab};$$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

2)$$\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}-\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=\frac{(a+b)(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})-(a-b)(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}{{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^3}-$$

$$=\frac{(a+b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})-(a-b)(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}{a-b}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})=2\sqrt[3]{b};$$

Ответ: $2\sqrt[3]{b}$

3)$$\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{1}{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}=$$

$$=\frac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}=\frac{-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}{a-b}=-\frac{\sqrt[3]{ab}}{a-b};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

4)$$\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}=$$

$$=\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{1}{a+b}=\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}-1}{a+b}=\frac{-2b^{\frac{1}{3}}}{a+b}=-\frac{2\sqrt[3]{b}}{a+b};$$

Ответ: $-\frac{2\sqrt[3]{b}}{a+b}$

1)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$$

Для упрощения начнем с приведения к общему знаменателю. Общий знаменатель будет:

$$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})$$

Теперь давайте вычислим числитель. Для этого используем правило разности квадратов и перемножим числители каждой дроби:

$$(a-b)(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})-(a+b)(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})$$

Раскроем скобки в числителе:

$$=a^{1+\frac{1}{3}}+a{b}^{\frac{1}{3}}-b{a}^{\frac{1}{3}}-b^{1+\frac{1}{3}}-a^{1+\frac{1}{3}}+a{b}^{\frac{1}{3}}-b{a}^{\frac{1}{3}}+b^{1+\frac{1}{3}}$$

Теперь упростим. Видим, что $a^{1+\frac{1}{3}}$ и $b^{1+\frac{1}{3}}$ сокращаются:

$$=2a{b}^{\frac{1}{3}}-2b{a}^{\frac{1}{3}}$$

Преобразуем:

$$=2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}})$$

Теперь знаменатель:

$$(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})=a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}$$

Подставляем числитель и знаменатель в итоговую формулу:

$$=\frac{2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}$$

Сокращаем $a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$$=2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=2\sqrt[3]{ab}$$

Ответ:  $2\sqrt[3]{ab}$

2)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}-\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$$

Подобно предыдущему примеру, для упрощения приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет:

$$(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$$

Посмотрим на числитель:

$$(a+b)(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})-(a-b)(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})$$

Раскроем скобки:

$$=(a+b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})-(a-b)(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$$

Упростим:

$$=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})=2\sqrt[3]{b}$$

Ответ: $2\sqrt[3]{b}$

3)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}$$

Для упрощения заметим, что второе слагаемое имеет вид дроби с многочленом, который можно преобразовать. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{1}{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}$$

Числитель первой дроби можно преобразовать:

$$=\frac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a-b}-\frac{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}$$

После этого:

$$=\frac{-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}{a-b}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

4)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}$$

Далее упростим числители:

$$=\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b}-\frac{1}{a+b}$$

После вычитания:

$$=\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}-1}{a+b}$$

Это упрощается в:

$$=\frac{-2b^{\frac{1}{3}}}{a+b}$$

Ответ: $-\frac{2\sqrt[3]{b}}{a+b}$