ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 854 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить f’ (х) + f (х) + 2, если f (х) = х sin 2х, х = пи.

Вычислить $g(x) = f'(x) + f(x) + 2$, если $f(x) = x \sin 2x$ и $x = \pi$.

Производная функции:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \sin 2x + x \cdot (\sin 2x)’$$ $$f'(x) = \sin 2x + x \cdot 2 \cdot \cos 2x$$

Значение выражения:

$$g(x) = \sin 2x + 2x \cdot \cos 2x + x \sin 2x + 2$$ $$g(\pi) = \sin 2\pi + 2\pi \cdot \cos 2\pi + \pi \cdot \sin 2\pi + 2$$ $$g(\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 + \pi \cdot 0 + 2 = 2\pi + 2$$ $$g(\pi) = 2(\pi + 1)$$

Ответ: $2(\pi + 1)$.

Нам нужно вычислить выражение $g(x) = f'(x) + f(x) + 2$, где функция $f(x) = x \sin(2x)$ и задано $x = \pi$.

Для этого будем использовать следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$.
2. Подставим полученную производную в выражение для $g(x)$.
3. Подставим $x = \pi$ в полученное выражение для $g(x)$.

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x) = x \sin(2x)$

Для нахождения производной функции $f(x) = x \sin(2x)$ будем использовать правило дифференцирования произведения. Это правило гласит, что производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ вычисляется по формуле:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Здесь:

• $u(x) = x$
• $v(x) = \sin(2x)$

Теперь найдём производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

Производная $u(x) = x$:

$$u'(x) = 1$$

Производная $v(x) = \sin(2x)$:

Для вычисления производной $v(x) = \sin(2x)$, применим правило дифференцирования сложной функции. Производная синуса $\sin(z)$ равна $\cos(z)$, а производная аргумента $2x$ равна 2. Поэтому:

$$v'(x) = 2 \cos(2x)$$

Теперь, используя правило дифференцирования произведения, находим производную $f'(x)$:

$$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$$

Подставляем значения:

$$f'(x) = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot 2 \cos(2x)$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = \sin(2x) + 2x \cos(2x)$$

Шаг 2: Подставим в выражение для $g(x)$

Теперь, имея выражение для $f'(x)$, подставим его в выражение для $g(x)$:

$$g(x) = f'(x) + f(x) + 2$$

Вспоминаем, что $f(x) = x \sin(2x)$, поэтому:

$$g(x) = \sin(2x) + 2x \cos(2x) + x \sin(2x) + 2$$

Упрощаем выражение:

$$g(x) = \sin(2x) + x \sin(2x) + 2x \cos(2x) + 2$$

Это выражение для $g(x)$.

Шаг 3: Подставим $x = \pi$

Теперь подставим $x = \pi$ в выражение для $g(x)$ и вычислим значение функции. Начнём с подстановки:

$$g(\pi) = \sin(2\pi) + \pi \sin(2\pi) + 2\pi \cos(2\pi) + 2$$

1. $\sin(2\pi) = 0$ (так как синус на множестве целых чисел, умноженных на $2\pi$, равен нулю).
2. $\cos(2\pi) = 1$ (так как косинус на множестве целых чисел, умноженных на $2\pi$, равен единице).

Подставляем эти значения в выражение:

$$g(\pi) = 0 + \pi \cdot 0 + 2\pi \cdot 1 + 2$$

Упростим:

$$g(\pi) = 0 + 0 + 2\pi + 2 = 2\pi + 2$$

Таким образом, значение функции $g(x)$ при $x = \pi$ равно:

$$g(\pi) = 2(\pi + 1)$$

Ответ:

$$g(\pi) = 2(\pi + 1)$$