ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 831 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (831—839).

1. ex +1;
2. ex + x2;
3. e2x+1/x;
4. e^-3x + корень x.

1. $f(x)=e^x+1$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x+0=e^x$;
2. $f(x)=e^x+x^2$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x+2x$;
3. $f(x)=e^{2x}+\frac{1}{x}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{2x}{)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=2e^{2x}-\frac{1}{x^2}$;
4. $f(x)=e^{-3x}+\sqrt{x}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{-3x}{)}^{\mathrm{\prime }}+(\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}=-3e^{-3x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

1. $f(x)=e^x+1$;
Найдём производную функции по правилу дифференцирования суммы:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}$.

Теперь будем дифференцировать каждое слагаемое:

• Производная от $e^x$ по $x$ — это сама функция $e^x$, так как производная от экспоненты всегда равна экспоненте.
• Производная от константы $1$ по $x$ равна нулю, потому что константа не зависит от переменной $x$.

Итак, получаем:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+0=e^x\mathrm{.}$$

2. $f(x)=e^x+x^2$;
Применим правило дифференцирования суммы:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Рассмотрим каждое слагаемое:

• Производная от $e^x$ по $x$ снова равна $e^x$, так как производная экспоненты по переменной $x$ не изменяется.
• Производная от $x^2$ по $x$ вычисляется по правилу дифференцирования степени: $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$. Для $x^2$, где $n=2$, это даёт $2x$.

Сложив эти результаты, получаем:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+2x\mathrm{.}$$

3. $f(x)=e^{2x}+\frac{1}{x}$;
Используем правило дифференцирования суммы:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{2x}{)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Для функции $e^{2x}$, применяем цепное правило: если $f(x)=e^{g(x)}$, то производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{g(x)}\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)$. Здесь $g(x)=2x$, так что $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2$. Таким образом, производная от $e^{2x}$ равна $2e^{2x}$.
• Производная от функции $\frac{1}{x}$ по $x$ — это $-\frac{1}{x^2}$, так как это правило дифференцирования для дробей (используем $(x^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}=-x^{-2}$).

Итак, получаем:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}-\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

4. $f(x)=e^{-3x}+\sqrt{x}$;
Применим правило дифференцирования суммы:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^{-3x}{)}^{\mathrm{\prime }}+(\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Для функции $e^{-3x}$ снова применяем цепное правило. У нас $g(x)=-3x$, тогда $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-3$. Таким образом, производная от $e^{-3x}$ равна $-3e^{-3x}$.
• Производная от $\sqrt{x}$ (или $x^{1\mathrm{/}2}$) по $x$ вычисляется с использованием правила дифференцирования степени: $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$. Для $\sqrt{x}=x^{1\mathrm{/}2}$, это даёт производную $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Сложив результаты, получаем:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3e^{-3x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{.}$$