ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 827 Алимов — Подробные Ответы

Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону фи (t) = 0,1t2 — 0,5t + 0,2. Найти угловую скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.

Угол поворота тела изменяется по закону:

$$\varphi(t) = 0,1t^2 — 0,5t + 0,2;$$

Угловая скорость вращения тела:

$$\varphi'(t) = 0,1 \cdot (t^2)’ — (0,5t — 0,2)’;$$ $$\varphi'(t) = 0,1 \cdot 2t — 0,5 = 0,2t — 0,5;$$

Скорость вращения тела в момент времени $t = 20$ с:

$$\varphi'(20) = 0,2 \cdot 20 — 0,5 = 4 — 0,5 = 3,5 \, (\text{рад/с});$$

Ответ: $3,5 \, \text{рад/с}$.

Задана функция, которая описывает угол поворота тела во времени:

$$\varphi(t) = 0,1t^2 — 0,5t + 0,2$$

Наша цель — найти угловую скорость тела в момент времени $t = 20$ секунд.

Шаг 1: Находим угловую скорость

Угловая скорость — это производная угла поворота по времени. То есть, чтобы найти угловую скорость $\varphi'(t)$, нам нужно вычислить производную от функции угла поворота $\varphi(t)$ по времени $t$.

$$\varphi'(t) = \frac{d}{dt} \left( 0,1t^2 — 0,5t + 0,2 \right)$$

Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $0,1t^2$ по времени $t$:

$$\frac{d}{dt}(0,1t^2) = 0,1 \cdot 2t = 0,2t$$

Производная от $-0,5t$ по времени $t$:

$$\frac{d}{dt}(-0,5t) = -0,5$$

Производная от константы $0,2$ по времени $t$:

$$\frac{d}{dt}(0,2) = 0$$

Теперь соберем все эти части вместе:

$$\varphi'(t) = 0,2t — 0,5$$

Таким образом, угловая скорость тела выражается как:

$$\varphi'(t) = 0,2t — 0,5$$

Шаг 2: Находим угловую скорость в момент времени $t = 20$

Теперь, чтобы найти угловую скорость в момент времени $t = 20$, подставим $t = 20$ в выражение для производной угла поворота:

$$\varphi'(20) = 0,2 \cdot 20 — 0,5$$

Выполним вычисления:

$$\varphi'(20) = 4 — 0,5 = 3,5$$

Таким образом, угловая скорость тела в момент времени $t = 20$ секунд равна:

$$\varphi'(20) = 3,5 \, \text{рад/с}$$

Ответ:

Угловая скорость вращения тела в момент времени $t = 20$ секунд равна $3,5 \, \text{рад/с}$.

Итог:

1. Мы начали с функции угла поворота $\varphi(t) = 0,1t^2 — 0,5t + 0,2$.
2. Нашли производную этой функции по времени, что дало нам выражение для угловой скорости $\varphi'(t) = 0,2t — 0,5$.
3. Подставили $t = 20$ в это выражение и нашли угловую скорость $\varphi'(20) = 3,5 \, \text{рад/с}$.