ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 823 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х значение производной функции f(x) = (2x-1)/(x+1) равно 3?

$$f(x) = \frac{2x — 1}{x + 1};$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(2x — 1)’ \cdot (x + 1) — (2x — 1) \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2(x + 1) — (2x — 1) \cdot 1}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x + 2 — 2x + 1}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2};$$

Производная равна трем при:

$$\frac{3}{(x + 1)^2} = 3;$$ $$3(x + 1)^2 = 3;$$ $$x^2 + 2x + 1 = 1;$$ $$x^2 + 2x = 0;$$ $$x(x + 2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = -2;$$

Ответ: -2; 0.

Дано:

$$f(x) = \frac{2x — 1}{x + 1}$$

Нам нужно найти производную этой функции и решить уравнение, при котором производная равна 3.

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

У нас есть дробная функция, поэтому применяем правило производной дроби:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Где:

• $u(x) = 2x — 1$
• $v(x) = x + 1$

Шаг 2: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x) = 2x — 1$:

$$u'(x) = 2$$

Производная от $v(x) = x + 1$:

$$v'(x) = 1$$

Шаг 3: Подставляем в формулу производной

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{(2) \cdot (x + 1) — (2x — 1) \cdot (1)}{(x + 1)^2}$$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Теперь упростим числитель:

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$$2 \cdot (x + 1) = 2x + 2$$

Во втором слагаемом:

$$(2x — 1) \cdot 1 = 2x — 1$$

Теперь подставим это в числитель:

$$f'(x) = \frac{2x + 2 — (2x — 1)}{(x + 1)^2}$$

Шаг 5: Упрощаем числитель

Объединяем подобные члены в числителе:

$$f'(x) = \frac{2x + 2 — 2x + 1}{(x + 1)^2}$$

Складываем:

$$f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2}$$

Итак, производная функции:

$$f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2}$$

Шаг 6: Решаем уравнение $f'(x) = 3$

Теперь, когда у нас есть производная функции $f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2}$, нам нужно найти значения $x$, при которых производная равна 3.

Шаг 7: Записываем уравнение

Запишем уравнение для $f'(x) = 3$:

$$\frac{3}{(x + 1)^2} = 3$$

Шаг 8: Умножаем обе части на $(x + 1)^2$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $(x + 1)^2$:

$$3 = 3(x + 1)^2$$

Шаг 9: Разделим обе части на 3

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$$1 = (x + 1)^2$$

Шаг 10: Извлекаем квадратный корень

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x + 1 = \pm 1$$

Это даёт два случая:

1. $x + 1 = 1$
2. $x + 1 = -1$

Шаг 11: Решаем для $x$

Из первого уравнения $x + 1 = 1$:

$$x = 0$$

Из второго уравнения $x + 1 = -1$:

$$x = -2$$

Ответ: $-2; 0$.