ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 822 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х значение производной функции f (х) = 2х3 — Зх2 — 12х + 1 равно 0?

$f(x) = 2x^3 — 3x^2 — 12x + 1$;

Производная функции:
$f'(x) = 2 \cdot (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ — (12x — 1)’$;
$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x — 12$;
$f'(x) = 6x^2 — 6x — 12$;

Производная равна нулю при:
$6x^2 — 6x — 12 = 0$;
$x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Ответ: $-1$; $2$.

1) Дана функция $f(x) = 2x^3 — 3x^2 — 12x + 1$

Нам нужно найти производную этой функции, затем решить уравнение, при котором производная равна нулю.

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Для нахождения производной функции $f(x) = 2x^3 — 3x^2 — 12x + 1$ применим стандартные правила дифференцирования.

Производная от $2x^3$:
По правилу дифференцирования степенной функции $(ax^n)’ = n \cdot ax^{n-1}$, имеем:

$$\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$$

Производная от $-3x^2$:
Для $-3x^2$ снова применяем правило степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2x^{2-1} = -6x$$

Производная от $-12x$:
Для линейной функции $ax$, где $a$ — коэффициент, производная равна $a$:

$$\frac{d}{dx}(-12x) = -12$$

Производная от константы $+1$:
Производная от постоянной (константы) равна нулю:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Теперь, сложив все части, получаем производную $f'(x)$:

$$f'(x) = 6x^2 — 6x — 12$$

2) Решаем уравнение $f'(x) = 0$

Теперь, когда у нас есть производная $f'(x) = 6x^2 — 6x — 12$, нам нужно найти значения $x$, при которых производная равна нулю.

Шаг 1: Уравнение для решения

Запишем уравнение:

$$6x^2 — 6x — 12 = 0$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Для упрощения уравнения можно вынести общий множитель 6:

$$6(x^2 — x — 2) = 0$$

Так как множитель 6 не равен нулю, мы можем разделить обе части на 6:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Теперь это стандартное квадратное уравнение.

Шаг 3: Находим корни уравнения с помощью дискриминанта

Для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ используем дискриминант, который вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $x^2 — x — 2 = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -1$
• $c = -2$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 4: Находим корни уравнения

Корни уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = -1$, и $D = 9$:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, корни уравнения $6x^2 — 6x — 12 = 0$ равны:

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 2$$

Ответ:

Производная функции равна нулю при $x = -1$ и $x = 2$.