ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 821 Алимов — Подробные Ответы

Задача

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1}$
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$
$\frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}$

Краткий ответ:

1) $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1}$

$f^{'} (x) = \frac{(2 x^{2} - 3 x + 1)^{'} \cdot (x + 1) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{(2 \cdot 2 x - 3) (x + 1) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - 3 x - 3 - 2 x^{2} + 3 x - 1}{(x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1)^{2}};$

2) $f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$

$f^{'} (x) = \frac{(3 x^{2} + 2 x - 1)^{'} \cdot (2 x + 1) - (3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot (2 x + 1)^{'}}{(2 x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{(3 \cdot 2 x + 2) (2 x + 1) - (3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2}{(2 x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{12 x^{2} + 6 x + 4 x + 2 - 6 x^{2} - 4 x + 2}{(2 x + 1)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{6 x^{2} + 6 x + 4}{(2 x + 1)^{2}};$

3) $f (x) = \frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}$

$f^{'} (x) = \frac{(2 - x)^{'} \cdot \sqrt{x} - (2 - x) \cdot (\sqrt{x})^{'}}{(\sqrt{x})^{2}} + \frac{(\sqrt{x})^{'} \cdot (2 - x) - \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{'}}{(2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{- 1 \cdot \sqrt{x} - (2 - x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x} + \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 - x) - \sqrt{x} \cdot (- 1)}{(2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{- 2 x - 2 + x}{2 x \sqrt{x}} : x + \frac{2 - x + 2 x}{2 (2 - x)^{2} \sqrt{x}};$ $f^{'} (x) = \frac{- 2 - x}{2 x \sqrt{x}} + \frac{2 + x}{2 x (2 - x)^{2} \sqrt{x}};$ $f^{'} (x) = \frac{(- 2 - x) (2 - x)^{2} + (2 + x) x}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{(- 2 - x) (4 - 4 x + x^{2}) + 2 x + x^{2}}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{- 8 + 8 x - 2 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} - x^{3} + 2 x + x^{2}}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 8}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{5 x^{2} - x^{3} - 4 x + 10 x - 2 x^{2} - 8}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}};$ $f^{'} (x) = \frac{(x + 2) (5 x - x^{2} - 4)}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}}$

Подробный ответ:

1) $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1}$

Задача состоит в нахождении производной для дробной функции. Для этого применяем правило производной дроби:

$f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{[v (x)]^{2}}$

Где:

$u (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$
$v (x) = x + 1$

Шаг 1: Находим производные от $u (x)$ и $v (x)$

Производная от $u (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ :

$u^{'} (x) = 4 x - 3$

Производная от $v (x) = x + 1$ :

$v^{'} (x) = 1$

Шаг 2: Подставляем в формулу производной

Теперь подставляем эти производные в формулу для $f^{'} (x)$ :

$f^{'} (x) = \frac{(4 x - 3) (x + 1) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}}$

Шаг 3: Упрощаем числитель

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(4 x - 3) (x + 1) = 4 x^{2} + 4 x - 3 x - 3 = 4 x^{2} + x - 3$

Второе слагаемое:

$(2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1 = 2 x^{2} - 3 x + 1$

Теперь подставим эти результаты:

$f^{'} (x) = \frac{4 x^{2} + x - 3 - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{(x + 1)^{2}}$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Теперь упростим числитель, объединяя подобные члены:

$f^{'} (x) = \frac{4 x^{2} + x - 3 - 2 x^{2} + 3 x - 1}{(x + 1)^{2}}$ $f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1)^{2}}$

Это и есть производная функции.

2) $f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$

Для этой функции также применим правило производной дроби:

$f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{[v (x)]^{2}}$

Где:

$u (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$
$v (x) = 2 x + 1$

Шаг 1: Находим производные от $u (x)$ и $v (x)$

Производная от $u (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ :

$u^{'} (x) = 6 x + 2$

Производная от $v (x) = 2 x + 1$ :

$v^{'} (x) = 2$

Шаг 2: Подставляем в формулу производной

Подставляем найденные производные в формулу:

$f^{'} (x) = \frac{(6 x + 2) (2 x + 1) - (3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2}{(2 x + 1)^{2}}$

Шаг 3: Упрощаем числитель

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(6 x + 2) (2 x + 1) = 12 x^{2} + 6 x + 4 x + 2 = 12 x^{2} + 10 x + 2$

Второе слагаемое:

$(3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2 = 6 x^{2} + 4 x - 2$

Теперь подставим эти результаты:

$f^{'} (x) = \frac{12 x^{2} + 10 x + 2 - (6 x^{2} + 4 x - 2)}{(2 x + 1)^{2}}$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Объединяем подобные члены:

$f^{'} (x) = \frac{12 x^{2} + 10 x + 2 - 6 x^{2} - 4 x + 2}{(2 x + 1)^{2}}$ $f^{'} (x) = \frac{6 x^{2} + 6 x + 4}{(2 x + 1)^{2}}$

3) $f (x) = \frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}$

В этом примере нам нужно найти производную суммы двух дробей, поэтому сначала найдём производные каждой дроби по отдельности, применяя правило производной дроби и правило производной произведения.

Шаг 1: Находим производную первой дроби $\frac{2 - x}{\sqrt{x}}$

Для $u (x) = 2 - x$ и $v (x) = \sqrt{x}$ , производная будет:

$f_{1}^{'} (x) = \frac{(2 - x)^{'} \cdot \sqrt{x} - (2 - x) \cdot (\sqrt{x})^{'}}{(\sqrt{x})^{2}}$ $f_{1}^{'} (x) = \frac{- 1 \cdot \sqrt{x} - (2 - x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x}$

Упрощаем:

$f_{1}^{'} (x) = \frac{- 2 x - 2 + x}{2 x \sqrt{x}} : x$

Шаг 2: Находим производную второй дроби $\frac{\sqrt{x}}{2 - x}$

Для $u (x) = \sqrt{x}$ и $v (x) = 2 - x$ , производная будет:

$f_{2}^{'} (x) = \frac{(\sqrt{x})^{'} \cdot (2 - x) - \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{'}}{(2 - x)^{2}}$ $f_{2}^{'} (x) = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 - x) - \sqrt{x} \cdot (- 1)}{(2 - x)^{2}}$

Шаг 3: Объединяем результаты

Теперь объединяем оба слагаемых:

$f^{'} (x) = \frac{- 2 - x}{2 x \sqrt{x}} + \frac{2 + x}{2 x (2 - x)^{2} \sqrt{x}}$

Шаг 4: Упрощаем

Выражаем это в более удобном виде:

$f^{'} (x) = \frac{(- 2 - x) (2 - x)^{2} + (2 + x) x}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}}$

Итоговое решение:

$f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1)^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{6 x^{2} + 6 x + 4}{(2 x + 1)^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 8}{2 x \sqrt{x} \cdot (2 - x)^{2}}$

Оцени решение